大学文科数学——极限

第二章微积分的直接基础——极限大家好1第一节数列极限主要内容：数列及数列极限的概念大家好2早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想，公元前3世纪，我国的庄子就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼茨（Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步.经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极限”是微积分的基础.大家好阿基里斯追龟一位古希腊学者芝诺（Zenon，约公元前496—约前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！大家好ABBB1假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！B1B2大家好让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米…..把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：10，1，0.1，0.01，…，102－n，…这称为数列，an＝102－n为通项，数列常简记为｛an｝.所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为110100(119110aq米）.所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！1110110100S大家好然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战.:1111,,,,,.24821,1,1,,(1),.2,4,6,,2,.nnn以下均为数列一列数：10，1，0.1，0.01，…，102－n，…称为数列.102－n为通项.大家好一尺之棰，日取其半，万世不竭.初始长度为：1一、数列的极限（问题的引入）：在《庄子·天下篇》中有“截丈问题”的精彩论述：大家好第一天剩的长度为：12截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.大家好第二天剩的长度为：212截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.大家好第三天剩的长度为：312截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.大家好第四天剩的长度为：412截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.大家好这样可以看出第n天剩的长度为：一尺之棰，日取其半，万世不竭.12n1111,,,,2482n于是得到了数列:当n越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.再看一下整个过程.大家好1(1)nna举例:①11,1,1,1,,(1),n这个数列的通项是:01–12nx21nxx12nna4121…xnx2x112nx0x3…••••••••••81②111,,,,242n这个数列的通项是:大家好数列极限的定义(定性描述):若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列发散.也称该数列收敛.{}.lim()nnnnnaaaaaaan如果当无限增大时，数列的通项无限趋近于常数，则称数列以为极限，记作，或这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图像,直觉用自然语言作出的定性描述.大家好因为当n∞时，趋近于常数0.1{}2n1(2){}0;2n的极限是1(1){(1)};n的极限不存在因为当n∞时，反复地取1和－1，没有明显的变化趋势,是发散的.})1{(1n021limnn01–12na21nax4121…ana2a112nx0a3…••••••••••81大家好注：④中各项均为相同的数（常数)1,我们把这样的数列称作常数列.因为不论n取何值，每项都是1，因此该数列的极限是1.③2,4,6,…,2n,…2nan④1,1,…,1,…,1,…1na这个数列的通项是:这个数列的通项是:大家好数列有以下几种变化趋势:数列的变化趋势有一定的变化趋势无一定的变化趋势无限增大无限减少a无限接近常数收敛不定向发散定向发散111,,,,242n2,4,6,8,,2,n11,1,1,1,,(1),n大家好下面我们直观地看一下极限的定义大家好2a1aalimnnaannnaaaa越大，越小nnaaaa不等式刻画了与的无限接近.在数学中一定要力避几何直观可能带来的错误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语言表达的，超现实原型的理想化的定量描述.3a4a5a大家好.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn当n无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nx大家好1(1),1.1nnnan当无限增大时无限接近于“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.1nannn11)1(1,1001给定,10011n由,100时只要n11,100na有,10001给定,1000时只要n11001,0na有大家好1,100100na有,100001给定,10000时只要n10,(),nN给定只要时1.na就有成立如果数列没有极限,就说数列是发散的.定义如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在着相应正整数N，使得满足nN的一切n，a以为极限，naa或者称数列收敛于，记为,().limnnnaaaan或nnaaa不等式恒成立，则称数列{}大家好,(,),().nnNaaaN当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外(,)naUaa由不等式联想到，如图：x2a1a1Na3aaNa大家好1定义中的常数具有二重性：具有很小正数的固定性；具有随意小的注：）任意性.2().NNN是首先给定的，是由确定的，常记作）大家好1(1)1lim1.nnnn例证明1na证明1(1)11nnnn0,1,na任给要1,n只要11,,nN或取,时则当Nn1(1)1,nnn就有.1)1(lim1nnnn即大家好注：limnna该数列有一定的发展趋势——趋向于无穷大，并不收敛，所以{2n}无极限.为叙述方便，可以说{2n}的极限是+∞..lim22()nnnn或表示成，因为n∞时，{2n}逐渐变得无穷大，并不趋近于某个常数.但由于{2n}的变化趋势是逐渐增大的，所以又可认为该数列趋于无穷大.即{2})(3(;)n的极限不存在趋于大家好结束大家好28