指数与对数运算及大小比较教案

指数、对数及其运算知识点：1．根式的概念一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根。a的n次方根用符号na表示．式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被开方数（radicand）．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。2．分数指数幂规定：(1)零指数幂)0(10aa(2)负整数指数幂10,nnaanNa(3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；(4)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3．有理指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Qsra；（2）rssraa)(),,0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba．（4）aann)(（5）当n是奇数时，aann当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann4.无理指数幂一般地，无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．5．对数的概念一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数（Logarithm），记作：Nxaloga—底数，N—真数，Nalog—对数式两个重要对数：○1常用对数（commonlogarithm）：以10为底的对数Nlg；○2自然对数（naturallogarithm）：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．6.对数式与指数式的互化xNalogNax对数式指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂7.对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01loga；（3）底数的对数是1：1logaa；（4）对数恒等式：baNabaNalog,log；（5）nanalog．8.对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．9.换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式可推导下面的结论（1）对数的降幂公式：bmnbanamloglog；（2）abbalog1log“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1比较12(322)与23(21)的大小．解：∵22322(21)(21)，∴11222(322)[(21)]21．又∵0211，∴函数(21)xy在定义域R上是减函数．∴2321(21)，即2132(322)(21)．评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2比较0.7a与0.8a的大小．解：设函数0.7xy与0.8xy，则这两个函数的图象关系如图．当xa，且0a时，0.80.7aa；当xa，且0a时，0.80.7aa；当0xa时，0.80.7aa．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3比较124.1，345.6，1313的大小．解：∵1313004215.65.614.14.103，∴13134215.64.13．评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４比较abab与baab（0ab）的大小．解：∵ababababbaababaaaabbabbb，又∵0ab，∴1ab，0ab．∴1abab，即1abbaabab．∴abbaabab．评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5设0mn，0a，且1a，试比较mmaa与nnaa的大小．解：()()mmnnmmnnaaaaaaaa()()mnmnaaaa(1)(1)(1)()nmnmmnmnnmaaaaaaa．（1）当1a时，∵0mn，∴10mna．又∵1na，1ma，从而0nmaa．∴(1)()0mnnmaaa．∴mmnnaaaa．（2）当01a时，∵1mna，即10mna．又∵0mn，∴1na，1ma，故0nmaa．∴(1)()0mnnmaaa．∴mmnnaaaa．综上所述，mmnnaaaa．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6比较221xa与22xa（0a，且1a）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x与22x的大小关系，又要讨论底数a与１的大小关系．解：（１）令22212xx，得1x，或1x．①当1a时，由22212xx，从而有22212xxaa；②当01a时，22212xxaa．（2）令22212xx，得1x，22212xxaa．（3）令22212xx，得11x．①当1a时，由22212xx，从而有22212xxaa；②当01a时，22212xxaa．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．