指数与对数运算教案

指数与对数运算1.根式的性质（1）当n为奇数时，有aann（2）当n为偶数时，有)0(,)0(,aaaaaann（3）负数没有偶次方根（4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............Nnaaaaann(2)零指数幂)0(10aa(3)负整数指数幂).0(1Npaaapp(4)正分数指数幂)1,,,0(nNnmaaanmnm且(5)负分数指数幂nmnmaa1)1,,,0(nNnma且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Qsraaaasrsr(2)),,0(,)(Qsraaarssr(3)),0,0(,)(Qrbaaaabsrr4.对数运算性质：如果0,1,0,0,aaNM则1）logloglogaaaMNMN；2）)(loglogRnMnMana；3）logloglogaaaMMNN。4）对数换底公式：常用对数换底公式：lglog(0,1,0)lgaNNaaNa2一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（）A、1B、bC、logbaD、alogba4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或56、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或47、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=_________；=_________；=_________．10、（3+2）=_________；log89•log2732=_______；（lg5）2+lg2•lg50=_________．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）=_______，若f（x）=，且f（lga）=，则a=_______．312、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是_________．13、方程xlgx=10的所有实数根之积是_________．14、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=_________．15、不查表求值：+﹣102+lg2=_________．三、解答题（共7小题，满分0分）16、若13aa，求1122aa及442248aaaa的值；17、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．（2）已知log627=a，试用a表示log1816．18、化简：+﹣．19、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．20、解下列方程（1）logx+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；21、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．22、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．23、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．4答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1C、D、2考点：对数的运算性质。分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+考点：指数函数综合题。专题：计算题。分析：利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可．解答：解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M代入到B中，左边===，而右边==+==，左边等于右边，B正确；代入到A、C、D中不相等．故选B．点评：考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．3、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（）A、1B、bC、logbaD、alogba考点：指数式与对数式的互化。专题：计算题。5分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键．再利用对数式和指数式之间的关系进行求解．解答：解：由对数的换底公式可以得出p==loga（logba），因此，ap等于logba．故选C．点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力．4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）考点：对数的运算性质；换底公式的应用。专题：计算题；函数思想。分析：由题意把两个对数换成以为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=的单调性，求出x的范围．解答：解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．故选D．点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值．5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或5考点：有理数指数幂的运算性质。专题：计算题；换元法。分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．解答：解：令3x=t，（t＞0），原方程转化为：t2﹣10t+9=0，所以t=1或t=9，即3x=1或3x=9所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5故选D点评：本题考查解指数型方程，考查换元法，较简单．6、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、46C、D、或4考点：对数的运算性质。分析：根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=故选C．点评：本题主要考查对数的运算性质．7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质。专题：数形结合。分析：方程log2（x+4）=2x的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象．解答：解：采用数形结合的办法，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象，画出图象就知，该方程有有一正根和一个负根，故选C．点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质。专题：计算题。分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．解答：∵方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，7∴lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，∴lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），∴lgαβ=﹣lg35，∴α•β的值是．故选D．点评：本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β=lg7•lg5，导致错选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=21﹣2n；=；=．考点：有理数指数幂的运算性质。分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．解答：解：（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=22n+2﹣2n﹣1﹣2n=21﹣2n；故答案为：点评：本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题．10、（3+2）=﹣2；log89•log2732=；（lg5）2+lg2•lg50=1．考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析：第一个式子：找出和的联系，利用对数的运算法则求解即可；第二个式子：利用换底公式化为同底的对数进行运算，注意到8和32可化为2的幂的形式，9和27化为3的幂的形式．第三个式子：2=，50=5×10，都转化为lg5的形式，可得出结果．解答：解：==，所以=﹣2；log89•log2732==8（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；1点评：本题考查对数的运算、对数的换底公式等知，属基本运算的考查．在运算时，要充分利用对数的运算法则．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）=x，若f（x）=，且f（lga）=，则a=10或．考点：反函数；函数的值；对数的运算性质。专题：计算题。分析：（1）本题可由原函数f（x）的解析式先求出反函数f﹣1（x）的解析式，最后将自变量取值4x代入反函数f﹣1（x）的解析式，结合对数函数运算性质可得答案，（2）由自变量求解函数值可得x与a的等式，进而用自变量x表示a后代入函数解析式，从而可得仅含变量x的方程，由此解出x的值．解答：（1）由f（x）=4x得f﹣1（x）=log4x，所以f﹣1（4x）=log44x=x，故答案为x（2）令x=lga得a=10x所以f（lga）=f（x）====，故x2﹣x=解得x=1或﹣，代入a=10x，所以a=10或故答案为10或点评：第一小题主要考查反函数知识和对数函数的运算性质，是对基础知识的考查，第二小题在考查函数值的基础之上，主要考查对数与指数之间的互化，以及指数幂运算性质，其中包括对解一元二次方程等基础的考查，难度较大．12、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是{0}．考点：指数函数综合题。分析：本题形式可以观察出，此方程是一个复合函数型的方程，需要先解外层的方程，求出内层的函数值，再解内层方程，求出方程的解，并写成解集的形式．解答：解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0∴2x=1即x=0故方程的解集为{0}故应填{0}点评：本题考查解指数与一元二次函数复合的方程，所用的方法为换元法，此类方程的特点是由外而内，逐层求解．13、方程xlgx=10的所有实数根之积是1．考点：对数的运算性质。分析：方程两边取对数，化简方程，然后求解即可．9解答：解：方程xlgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，∴lgx=±1，所以x=10或x=实数根之积为1．故答案为：1点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．14、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=﹣3．考点：对数的运算性质。分析：根据对数运算法则且lg5=1﹣lg2，