高阶常系数线性微分方程

110-5高阶常系数线性微分方程2()d()dgyyfxx1.可分离变量的：d(d)yyxx2.齐次型:()()yPxyQx3.一阶线性方程：一阶方程可降阶的高阶方程()()nyfx(,)yfxy()()PxyyPx令则(,)yfyydd()ddyPPyyPxy令则逐次积分求解关键:辨别方程类型,掌握相应的求解步骤复习3()()0yPxyQxy1.二阶齐次线性方程的标准形式()()()yPxyQxyfx2.二阶非齐次线性方程的标准形式2211yCyCy*2211yyCyCy通解为：通解为：21,yy其中线性无关，即常数，12yy即).(12xuyy★二阶线性微分方程的标准形式及解的性质：4高阶常系数线性微分方程第五节第十章二、高阶常系数非齐次线性微分方程一、高阶常系数非齐次线性微分方程510-5高阶常系数线性微分方程下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法.()(1)11()()()(),nnnnnyPxyPxyPxyfx在阶线性方程中定义(),,,,nyyyy如果未知函数及其各阶导数的系数全都是常数时.则称该方程为常系数线性微分方程:一般形式()(1)(2)121(),nnnnnypypypypyfx121:,,,,.nnpppp其中均为常数0ypyqy(p,q为常数)60ypyqy1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式()ypyqyfx2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式(p,q为常数)(p,q为常数)2211yCyCy*2211yyCyCy通解为：通解为：21,yy其中线性无关，即常数，12yy即).(12xuyy一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：7二、二阶常系数齐次线性方程的解法将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程21,242ppqr特征根0ypyqy(p,q为常数)rxery2,rxrey则rxey是方程的解.设rxey是方程的解设20rrprq是的解8,11xrey,22xrey两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCyⅠ有两个不相等的实根)0(设特征根为xrrxrxreee)(2121023yyy如：特征方程为，0232rr,11r212.xxyCeCe，21,rr21rr且常数则通解为22rrxey是方程的解设20rrprq是的解9,11xrey,221prrⅡ有两个相等的实根)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy,0)()2(1211uqprrupru,)(12xrexuy特征根为044yyy如特征方程为，0442rr，221rr.)(221xexCCy)]([12xuyy222yyy，，将代入原方程并化简得,0u知,)(xxu取,12xrxey则则通解为设另一特解为：rxey是方程的解设20rrprq是的解10,1ir,2irxiey)(1xiey)(2Ⅲ有一对共轭复根)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyiy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx设特征根为0yy如特征方程为，012r,1ir.sincos21xCxCyxixee)sin(cosxixexxixee)sin(cosxixex则通解为.2ir21[tan]yxy常数1102qprr0ypyqy，定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其总之xrxreCeCy2121rxexCCy)(21)sincos(21xCxCeyx通解的表达式特征根情况21rr实根rrr21实根ir2,1复根通解的方法称为特征方程法.12解特征方程为,0522rr解得,212,1ir故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx解特征方程为,0122rr解得,121rr故所求通解为.)(21xexCCy02yyy例1求方程的通解.052yyy例2求方程的通解.特征方程为230rr1203rr，故所求通解为例3求03yy的通解.解.321xeCCy1313532121CCCC解得,2,121CC故所求特解为532.xxsee解特征方程为,01522rr解得,3,521rr故所求通解为5312.xxsCeCe.353251xxeCeCs1)0(,3)0(ss由得：22dd2150(0)3,(0)1.dd4sssssxx求微分方程足例满的特解14例5由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为练习：为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程为解:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为212xxyCeCe求以为通解的微分方程.121,2,rr解(1)(2)0,rr2320,rr即320.yyy1211(sincos)xyeCxCxCC设(、为任意常数)15特征方程:推广:()(1)110()nnnnkypypypyp均为常数1110,nnnnrprprp特征方程的根微分方程通解中的对应项rxCe单实根r给出一项:1,2ri12(cossin)xeCxCx112()krxkCCxCxe1,2ri112[()cosxkkeCCxCxx112()sin]kkDDxDxx一对单虚数根给出两项:k重实根r给出k项:一对k重虚数根给出2k项:16特征根为,,,154321irrirrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx解,01222345rrrrr特征方程为,0)1)(1(22rr注意：n次代数方程有n个根,.2211nnyCyCyCy且每一项各一个任意常数对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都022)3()4()5(yyyyyy例6求方程的通解.17四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;02qprr0ypyqy21rrxrxreCeCy2121rrr21ir2,1rxexCCy)(21)sincos(21xCxCeyx通解的表达式特征根情况实根实根复根（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化18思考与练习答案:通解为通解为通解为0.yay求方程的通解0:a12yCCx0:a12cossinyCaxCax12.axaxyCeCe20ra19思考题：为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr故所求方程为其通解为11醉翁亭记1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强