§6-曲线论基本定理

作者：王幼宁-1-第二章曲线的局部微分几何§6曲线论基本定理从前面所讨论的内容已经知道，弧长和曲率、挠率是刻划曲线的重要的几何量；同时，按照局部规范形式(5.3)式来看，可以感觉到它们能够在很大程度上确定曲线的局部几何性质．本节的中心，就是要证明它们通常能够构成曲线的完全的几何不变量系统并且在合同意义下确定曲线本身．一．一般结果曲线论基本定理给定区间I(a,b)上的连续可微函数(s)0和连续函数(s)，则在E3中①存在弧长s参数化曲线C:rr(s)，使其曲率函数(s)(s)，并且其挠率函数(s)(s)；②上述曲线C在合同意义下是唯一的．曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行．考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet公式(4.5)式，可以看到，曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在唯一性结果．因此，下面将不加证明地引用关于齐次线性常微分方程组的解的存在唯一性定理．围绕着存在性，首先建立并考察联立的两个齐次线性常微分方程组(6.1)drdse1；(6.2)ddse1e2e300000e1e2e3．联立方程组中所包含的未知向量函数组{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}可以理解成由12个普通未知函数而构成．联立方程组在给定的初值条件下有满足初始条件的唯一解（且在整个区间上延拓有定义）．引理１给定单位正交右手标架{r0;T0,N0,B0}，在曲线论基本定理条件下任取一点s0I，则联立方程组(6.1)-(6.2)的满足初始条件作者：王幼宁-2-{r(s0);e1(s0),e2(s0),e3(s0)}{r0;T0,N0,B0}的唯一解恰好为一条弧长s参数化曲线C:rr(s)的Frenet标架场．证明记方程组(6.2)右端的系数函数矩阵为反对称矩阵A(aij)33，则该方程组写为(6.3)ei3j=1aijej,i1,2,3.首先，证明所讨论的解函数组{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}构成单位正交标架场．为此，记pijeiej，则要证(6.4)pijij,i,j1,2,3．而dpijdseiejeiej3k=1(aikekejajkeiek)，故待定函数pij是如下齐次线性常微分方程组初值问题的解dpijds3k=1(aikpkjajkpik)，pij(s0)ij；i,j1,2,3．该初值问题有常值函数解(6.4)式，从而也是唯一解；故(6.4)式总是成立的．于是，{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}是单位正交标架场；并由此知道(6.5)(e1(s),e2(s),e3(s))1．进一步，由解函数组{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}的连续性以及混合积、绝对值函数的连续性，注意到初始单位正交标架是右旋的，即满足初值条件(e1(s0),e2(s0),e3(s0))1，得知(6.6)(e1(s),e2(s),e3(s))1．此即说明解函数组{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}是单位正交右手标架场．至此，易证参数曲线C:rr(s)为一条弧长s参数化曲线．这只要注意到(6.1)式以及e1(s)恒为单位向量即得．对此曲线，有(6.7)e1(s)T(s)．现在，为了证明解函数组{r(s);e1(s),e2(s),e3(s)}是曲线C的Frenet标架场，将(6.7)式代入到(6.2)式，可得e1Ne2；而已知连续可微函数(s)0和曲率函数(s)非负，故总是成立(6.8)(s)(s)0,e2(s)N(s)．注意，此时曲线无逗留点，处处存在Frenet标架场．再利用标架的右旋性质，便得到(6.9)e3(s)B(s),(s)(s)．作者：王幼宁-3-于是，综合(6.1)式和(6.7)-(6.9)各式即证毕．从上述证明过程可以看到，确定曲线的过程可以表现为确定其附属的标架场的过程；从中可以体会标架空间在几何学中的合理运用．曲线论基本定理的证明引理1说明存在性结论①是成立的．以下证明唯一性结论②．设两条曲线C:rr(s)和C*:rr*(s)同时以s为弧长参数并具有相同的曲率函数(s)*(s)0和相同的挠率函数(s)*(s)；要证这两条曲线合同．任取定点s0I，这两条曲线在此对应点的Frenet标架分别记为{r(s0);T(s0),N(s0),B(s0)}和{r*(s0);T*(s0),N*(s0),B*(s0)}，则两个标架之间相差的正交变换对应于一个刚体运动:E3E3．由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨设C*在下的像(C*)在点s0处的Frenet标架重合于{r(s0);T(s0),N(s0),B(s0)}．再由引理1，可知(C*)与C重合；此即C*与C合同，结论得证．□曲线论基本定理说明，无逗留点曲线的曲率0和挠率分别作为弧长s的函数而共同确定了不计位置意义下的唯一一条曲线；因而，函数组(s)0,(s)通常称为曲线的内在方程或自然方程．一般而言，从内在方程出发而去确定参数方程往往是比较困难的，因为通常要归结为求解曲线论基本方程的通解或特解．当然，对于已知内在方程的曲线，有时就可以采取反验的方法确定其参数方程全体．例１已知曲线C具有常值曲率00和常值挠率00，试确定其参数方程．解：熟知，圆柱螺线r(t)(acost,asint,bt)的曲率和挠率分别为常值函数(t)aa2b20和(t)ba2b2．解方程组0aa2b2，0ba2b2，可得a00202，b00202，故由曲线论基本定理可知，曲线C的参数方程除相差刚体运动外可写为r(t)0cost0202,0sint0202,0t0202．作者：王幼宁-4-二．平面曲线的相对曲率平面曲线在非逗留点处的挠率恒为零，故而按照曲线论基本定理，有更为简单的内在方程．一个不容忽视的事实是，在逗留点及其附近并没有找到能够确定空间曲线的一般的完全不变量系统．当然，处处为逗留点的曲线只能是直线．观察第一章图1-5以及相关例题可见，空间曲线在逗留点附近有可能具有相当任意的“自由度”——允许单侧相差围绕逗留点处切线的旋转；而图2-10所示平面曲线在孤立逗留点附近只有有限的“自由度”——允许单侧相差关于逗留点处切线的反射．这种行为的直观表现，就是曲线在逗留点处“迷失”了方向；其解析表现，就是曲线的Frenet标架在逗留点处没有定义，并且其在逗留点两侧的单侧极限有可能不相等．如果想象曲线在三维空间内被弧长、曲率、挠率三个量“限定”，那么，平面曲线将被弧长、曲率“限定”，一般固定曲面上的任意曲线也将被弧长和另外一个几何量“限定”．下面将完善平面曲线的完全不变量系统，而曲面上曲线的相关讨论将在第六章深入进行．在所在的平面上，平面曲线在每一点处有唯一的一条法线（即过该点且垂直于切线的直线）；其连续可微的单位法向量场可由单位切向和所在平面的定向如下确定．不妨考虑右手直角坐标系O-xyz下坐标平面xOy之上的弧长参数化曲线C:rr(s)，其参数方程简记为r(s)(x(s),y(s))；则其单位切向T(s)(x(s),y(s))．定义1给定二阶连续可微的弧长s参数化平面曲线C:rr(s)(x(s),y(s))x(s)iy(s)j，其中{i,j,k}为E3的单位正交右手系的基向量，称x轴的正向i到C的单位切向T的有向夹角为C的有向切线方向角，简称切向角，即对有(6.10)T(s)(x(s),y(s))(cos(s),sin(s))．图2-10NrTNr,NCjNTi图2-11作者：王幼宁-5-从局部来看，C的切向角函数在C的任一点的附近总可取到可微的单值支，这只要注意到局部总可取之为多值函数Arctanyx或Arccotxy的单值支即可．在C的可以取到可微切向角函数的局部，利用可微性可以获得许多方便．此时，(6.10)式对弧长参数求导，得曲率向量(6.11)T(s)(s)(sin(s),cos(s))(s)(y(s),x(s))．定义2对上述平面曲线C，分别称(6.12)Nr(cos(2),sin(2))(sin,cos)(y(s),x(s))，(6.13)r(s)，为C的相对主法向和相对曲率．显然，此时曲率是相对曲率的绝对值；相对主法向在逗留点仍然有定义，并且使{T,Nr}与所在平面的定向相符，即TNrijk．相对曲率是平面上刚体运动（即平移变换和旋转变换的复合）的不变量，而切向角不是（参见习题）．进一步，由(6.10)式对弧长参数s积分得到，平面曲线C的位置向量分量由切向角函数(s)和初值(x(s0),y(s0))唯一确定为(6.14)x(s)x(s0)ss0cos(u)du，y(s)y(s0)ss0sin(u)du．此即说明，对于固定的平面，其上曲线的弧长和相对曲率共同构成了完全的不变量系统．由(6.12)式求导并结合(6.11)式和(6.13)式，易见标架场{r(s);T(s),Nr(s)}的运动公式主体为(6.15){TrNr，NrrT．通常称此式为平面曲线论基本公式或平面曲线Frenet公式，其用位置向量分量对弧长的导数的相应表达式为(6.16){xry，yrx．由此，在弧长参数下有相对曲率的计算公式(6.17)rxyyxxyxy；利用复合求导和行列式性质易得（留作习题）一般正则参数下的相应公式作者：王幼宁-6-(6.18)r(t)ddtdtds(dtds)3dxdtdydtd2xdt2d2ydt2，ds(dxdt)2(dydt)2dt．习题⒈关于平面曲线的相对曲率r，通过分析切向角的行为而证明：①r在保向的容许参数变换下不变，在反向的容许参数变换下变号；②r是所在平面上刚体运动下的不变量．⒉试讨论相对曲率符号的几何意义．⒊计算以下平面曲线的相对曲率和曲率：①抛物线r(t2,t)；②椭圆r(cost,2sint)；③旋轮线r(tsint,1cost)；④曳物线r(cos,ln(sectan)sin),02；⑤悬链线r(t,achta),其中常数a0．⒋求平面上的曲率为常数的曲线．⒌求平面上的弧长s参数化曲线，使其曲率半径为1+s2．⒍已知两条曲线C:rr(t)和C*:rr*(u)的参数方程分别给为r(t)(et2,et2,t1)，r*(u)(chu,shu,u)．试证C和C*是合同的，并确定两者相差的刚体运动．⒎已知两条曲线C:rr(t)和C*:rr*(u)的参数方程分别给为r(t)(t3sint,2cost,3tsint)，r*(u)(2cosu,2sinu,2u)．试证：C和C*是合同的．⒏讨论由几种办法可确定第7题中两条曲线所相差的刚体运动．