高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷·理科）（附答案，完全word版）

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为A.1B.2C.1或2D.-1(2)设集合A={x|1xx＜0},B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为A.63B.64C.127D.128(4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR)，若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C.192625D.256625(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.63B.265C.155D.105(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(8)若实数x、y满足100xyx，则yx的取值范围是A.(0,1)B.0,1C.(1,+)D.1,(9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为A.2B.C.－D.－2(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为A.6B.3C.6或56D.3或23(11)又曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)x=1+cos(14)若直线3x+4y+m=0与圆y=-2+sin（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、ab∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集2,FababQ也是数域。有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集QM，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1)，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数()cos24cossin()fxxAxxR的值域.（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分12分）已知函数321()23fxxx.（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点211(,2)nnnaaa(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.（20）（本小题满分12分）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.（21）（本小题满分12分）如图、椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OAOBAB,求a的取值范围.（22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x1（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）记f(x)在区间0,（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.（Ⅲ）如果对一切n，不等式22nnncaaa恒成立，求实数c的取值范围；（Ⅳ）求证：1313211224242211.nnnaaaaaaaaaaaaa数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B（2）A（3）C（4）B（5）B（6）D（7）A（8）C（9）A（10）D（11）B（12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）31（14）(,0)(10,)（15）9（16）③④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由题意得3sincos1,mnAA12sin()1,sin().662AA由A为锐角得,.663AA（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos,2A所以2213()cos22sin12sin2sin2(sin).22fxxxxsx因为x∈R，所以sin1,1x，因此，当1sin2x时，f(x)有最大值32.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,2.（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线PB与CD所成的角是2arctan2.（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32.设QD＝x，则12DQCSx，由（Ⅱ）得CD=OB=2，在Rt△POC中，222,PCOCOP所以PC=CD=DP,233(2),42PCDS由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点，OCODOP、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB＝（，，），＝（，，）.所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63，(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CPCD设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则0,0,nCPnCD所以00000,0,xzxy即000xyz，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设(0,,0)(11),(1,,0),QyyCQy由32CQnn，得13,23y解y=-12或y=52(舍去)，此时13,22AQQD，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：因为321()2,3fxxx所以f′(x)=x2+2x,由点211(,2)(N)nnnaaan在函数y=f′(x)的图象上,又0(N),nan所以11()(2)0,nnnnaaaa所以2(1)32=22nnnSnnn,又因为f′(n)=n2+2n,所以()nSfn,故点(,)nnS也在函数y=f′(x)的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)fxxxxx,由()0,fx得02xx或.当x变化时,()fx﹑()fx的变化情况如下表:注意到(1)12aa,从而①当212,21,()(2)3aaafxf即时的极大值为,此时()fx无极小值；x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗②当10,01,()aaafx即时的极小值为(0)2f,此时()fx无极大值；③当2101,()aaafx或或时既无极大值又无极小值.(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则1111211()()()323PABPAPB.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()PPABPAA2111114.3233399112112122(3)()()()PPABBPABBPAAB2112111211114,322322332669312221212(4)()()PPAABBPAABB12111211111,3322332218189故4418234.9993E答：该考生参加考试次数的数学期望为83.(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以32OFMN,即1＝32,3.23bb解得＝2214,ab因此，椭圆方程为221.43xy(Ⅱ)设1122(,),(,).Ax