高考卷 08届 普通高等学校招生全国统一考试数学（辽宁卷·理科）（附答案，完全word版）

2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=42R如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)＝P(A)·P(B)球的体和只公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率V=243R()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCPpkn其中R表示球的半径一、选择题1.已知集合30,31xMxNxxx„,则集合1xx…为()A.MNB.MNC.()RMNðD.()RMNð2.135(21)lim(21)nnnn等于()A.14B.12C.1D.23.圆221xy与直线2ykx没有公共点的充要条件是()A.(2,2)kB.(,2)(2,)kC.(3,3)kD.(,3)(3,)k4.复数11212ii的虚部是()A.15iB.15C.15iD.155.已知,,OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2ACCB0,则OC等于()A.2OAOBB.2OAOBC.2133OAOBD.1233OAOB6.设P为曲线2:23Cyxx上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0,]4,则点P横坐标的取值范围是()A.1[1,]2B.[1,0]C.[0,1]D.1[,1]27.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.348.将函数21xy的图象按向量a平移得到函数12xy的图象,则a等于()A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)9.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有()A.24种B.36种C.48种D.72种10.已知点P是抛物线22yx上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.9211.在正方体1111ABCDABCD中,,EF分别为棱11,AACC的中点,则在空间中与三条直线11,,ADEFCD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条12.设()fx是连续的偶函数,且当0x时()fx是单调函数,则满足3()()4xfxfx的所有x之和为()A.3B.3C.8D.8第Ⅰ卷（选择题共60分）二、填空题13.函数1,0,0xxxyex…的反函数是____________________.14.在体积为43的球的表面上有,,ABC三点,1,2,,ABBCAC两点的球面距离为33,则球心到平面ABC的距离为______________.15.已知231(1)()nxxxx的展开式中没有常数项,*,28nNn剟,则n______.16.已知()sin()(0),()()363fxxff,且()fx在区间(,)63有最小值,无最大值,则__________.三、解答题17.在ABC△中,内角,,ABC对边的边长分别是,,abc.已知2,3cC.⑴若ABC△的面积等于3,求,ab;⑵若sinsin()2sin2CBAA,求ABC△的面积.18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量234频数205030⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.19.如图,在棱长为1的正方体ABCDABCD中,(01)APBQbb,截面PQEFAD∥,截面PQGHAD∥.⑴证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;⑵证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;⑶若DE与平面PQEF所成的角为45,求DE与平面PQGH所成角的正弦值.20.在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线1ykx与C交于,AB两点.⑴写出C的方程;⑵若OAOB,求k的值;⑶若点A在第一象限,证明:当0k时,恒有OAOB.21.在数列,nnab中,112,4ab,且1,,nnnaba成等差数列,11,,nnnbab成等比数列.ABCDABCDPQEFGH⑴求234,,aaa及234,,bbb,由此猜测,nnab的通项公式,并证明你的结论;⑵证明:1122111512nnababab.22.设函数ln()lnln(1)1xfxxxx.⑴求()fx的单调区间和极值;⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式()fxa…的解集为(0,)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解决供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）C（8）A（9）B（10）A（11）D（12）C(18)本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.……3分（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且P（=8）=0.22=0.04,P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,P（=16）=0.32=0.09.的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09……9分F=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4千元）……12分（19）本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑能力，满分12分。解法一：（I）证明：在正方体中，AD′A′D,AD′⊥AB,又由已知可得PF∥A′D，PH∥AD′,PQ∥AB,所以PH⊥PF,PH⊥PQ,所以PH⊥平面PQEF.所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，……4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2,2'PFAPPHPA，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是(22')2APPAPQ，是定值.8分（III）解：连结BC′交EQ于点M.因为PH∥AD′,PQ∥AB,所以平面ABC′D′和平面PQGH互相平行，因此D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等.与（I）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值.设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=l-b知222'(1)2,'(1).22DEbNDb因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45角，所以D′E=2'ND即2222(1)(1)222bb，解得12b,可知E为BC中点.所以EM=24，又D′E=23(1)22b，故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为2'6EMDE.解法二：以D为原点，射线DA、DC，DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF-l-b，故A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0),F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).（I）证明：在所建立的坐标系中，可得(0,1,0),(,0,),(1,0,1).PQPFbbPHbb'(1,0,1),(1,0,1).ADAD因为''0,'0,ADPQADPFAD所以是平面PQEF的法向量.因为是平面PQGH的法向量.因为''0?¬''ADADADAD所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直……4分（II）证明：因为(0,1,0)EF，所以,,EFPQEFPQPFPQ又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.在所建立的坐标系中可求得||2(1)||2,PHBPFb所以||||2,||1PHPFPQ又，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和为2，是定值.8分（III）解：由已知得''DEAD与成45角,又'(1,,1),'(1,0,1),DEblAD可得2''222|'||'|2(1)2DEADbDEADb，即2211,.2(1)2bbb解得所以1'(,1,1),'(1,0,1)?¬2DEAD又所以D′E与平面PQGH所成角的正弦值为1122|cos','|.3622DEAD……12分（20）本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,3),(0,3)为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴222(3)1,b故曲线C的方程为224;1.yx……3分（Ⅱ）设1122(,),(,)AxyBxy，其坐标满足221,41.yxykx消去y并整理得22(4)2kxkx3.0，故12122223,.44kxxxxkk……5分若,OAOB即12120.xxyy面22121222233210,444kkxxyykkk化简得2410,k所以1.2k……8分（Ⅲ）2222221122;()OAOBxyxy＝22221222()4(11)xxxx＝12123()()xxxx＝1226().4kxxk因为A在第一象限，故x1＞0.由12234xxk知20,x从而120.xx又0,k故220,OAOB即在题设条件下，恒有.OAOB……12分（21）本小题主要考查等差数列，等比数例，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分.解：（Ⅰ）由条件得21112,.nnnannbaaabb由此可得2223446,9,12,16,20,25.ababab……2分猜测2(1),(1).nnannbn……4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立.②假设当n=k时，结论成立，即2(1),(1),kkakkbk那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2),(2)bkkkk