高中数学复习 知识清单

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资源描述

1一、集合的含义与表示(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性。(2)元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“”表示)和不属于(用符号“”表示)。(3)常用数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*NZQR(4)集合的表示法:列举法;描述法;图示法。二、集合间的基本关系表示关系定义记法集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB=子集集合A中任意一元素都在集合B中AB或BA真子集集合A中任意一元素都在集合B中,且集合B中至少有一个元素不在集合A中空集(没有任何元素的集合)空集是任何集合的子集A空集是任何集合的真子集三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示集合A和集合B的所有元素,记作AB集合A和集合B的共同元素,记作AB若全集为U,集合A是U的子集,集合U除去集合A中所有的元素,剩余的所有元素,记作UCA图形表示意义ABxxA=或xBABxxA=且xBUCAxxU=且xA性质(1)AA=;(2)AAA=;(3)ABBA=;(4)ABA=BA(1)A=;(2)AAA=;(3)ABBA=;(4)ABA=AB(1)()UACAU=;(2)()UACA=;(3)()UUCCAA=;(4)()()()UUUCABCACB=(5)()()()UUUCABCACB=知识拓展:设有限集合A中元素的个数为n,则(1)(1)A的子集个数是2n;(2)A的真子集个数是2n-1;(3)A的非空子集个数是2n-1;(4)A的非空真子集个数是2n-2。2一、不等式的定义用数学符号“、、、、”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式。二、不等式的基本性质性质性质内容注意对称性abba传递性,abbcac可加性abacbc++可乘性0abacbccc的符号0abacbcc同向可加性abacbdcd++同向同正可乘性00abacbdcd可乘方()0,1nnababnNn可开方()0,2nnababnNn同正三、比较大小的基本方法作差法:理论依据:0;0;0abababababab−−−==。基本步骤:(1)作差;(2)变形(方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形);(3)结论(与0比较)。四、不等式的解法1、一元一次不等式组(ab):(1)xaxb的解集为xxb;(2)xaxb的解集为xxa;(3)xaxb的解解为xaxb;(4)xaxb的解集为2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式24bac=−00=0二次函数2yaxbxc=++(0)a的图像一元二次方程20axbxc++=(0)a的根有两个不相等实根()1212,xxxx有两个相等实根122bxxa==−没有实数根20axbxc++(0)a的解集1xxx或2xx2bxxa−R20axbxc++(0)a的解集1xxx或2xxR20axbxc++(0)a的解集12xxxx20axbxc++(0)a的解集12xxxx2bxxa=−3、绝对值不等式3(1)当0a时,有xaxxa或xa;xaxaxa−;(2)当0a=时,有00xxx;0x;(3)当0a时,xaxR;xa;(4)当0a时,有cxdaxcxda++或cxda+;cxdaxacxda+−+.(5)当0a=时,有00cxdxcxd++;0cxd+。(6)当0a时,有cxdaxR+;cxda+。4、分式不等式(1)()()()()()*000fxgxfxgxgx;(2)()()()()()*000fxgxfxgxgx(3)()()()()0*0fxfxgxgx(4)()()()()0*0fxfxgxgx一、函数的概念1、定义(1)两个非空的数集A、B;(2)如果按照某种确定关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应;(3)称:fAB→为从集合A到集合B的一个函数,记作(),yfxxA=。2、函数的定义域、值域(1)定义域:自变量x的取值范围;(2)值域:与x相对应y的取值范围。3、函数的三要素:定义域、值域、对应关系。二、函数的相关结论1、相等函数:定义域相同,并且对应关系相同。2、表示函数的方法:解析法、图像法、列表法。3、分段函数:自变量x的取值范围不同,需要不同的对应法则。(1)定义域:各个部分的并集;(2)是一个函数;(3)求()fx,要判断自变量x在哪个范围内,在代入相应的表达式。4、求函数定义域的方法:(1)已知函数解析式,求函数定义域,即整式为R;分母0;偶次根式下0;奇次根式为R;0次幂底0;指数为R;对数0。(2)若已知函数()fx的定义域为,ab,则函数()()fgx的定义域由()agxb求出。(3)若已知函数()()fgx的定义域为,ab,则函数()fx的定义域为()gx在,xab时的值域。5、求函数解析式的方法(1)待定系数法:若已知()fx的解析式类型,设出它的一般式,根据特殊值,确定相关系数即可;例1、已知()fx是一次函数,且()()43ffxx=+,则()fx的解析式。(2)换元法:设()tgx=,解出x,代入()()fgx,求()ft的解析式即可;4(3)解方程组法:利用已经给出的关系式,构造新的关系式,通过解关于()fx的方程组求出()fx;例2、已知函数()12fxfxx=+,求()fx的解析式。(4)赋值法:给变量赋予某些特殊值,从而求出解析式。例3、已知()01f=,对任意的实数,xy都有()()()21fxyfxyxy−=−−+,求()fx的解析式。一、函数的单调性1、单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数()fx的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx,当12xx时,都有()()12fxfx,那么就说函数()fx在区间D上是增函数。当12xx时,都有()()12fxfx,那么就说函数()fx在区间D上是增函数。2、单调区间的定义若函数()fx在区间D上是增函数或减函数,则称函数()fx在这一区间上具有单调性,区间D叫做()fx的单调区间。3、判断(证明)单调性的方法(1)图像法:在区间D上,图像呈上升趋势,则函数在区间D上是增函数;反之,图像呈下降趋势,则函数在区间D上是减函数。(2)利用定义证明函数单调性的步骤:a.任取12,xxD,且12xx;b.作差()()12fxfx−;c.变形(通分、因式分解、配方法、分母分子有理化);d.定号(即判断()()12fxfx−的正负,和“0”比较);e.下结论(即指出函数()fx在给定的区间上的单调性)。4、几种初等函数单调性的判断(证明)(1)一次函数(0),ykxbkxR=+解(证明):在定义域R上任取12,xxR,且12xx,则()()12fxfx−=()12()kxbkxb+−+12()kxx=−12120xxxx−当0k时,有()()1212()0fxfxkxx−=−即()()12fxfx故函数ykxb=+在R上是增函数。而当0k时,有()()1212()0fxfxkxx−=−即()()12fxfx故函数ykxb=+在R上是减函数。(2)二次函数()20yaxbxca=++解:单调区间为,2ba−−,,2ba−+,当0a时,函数在,2ba−−是减函数;在,2ba−+上是增函数;当0a时,函数在,2ba−−是增函数;在,2ba−+上是减函数证明函数()20yaxbxca=++在,2ba−−是减函数;在,2ba−+上是增函数。5证明:a.在,2ba−−上任取12,xx,且12xx,则()()()()()()()()()()221211222212122212121212121212()fxfxaxbxcaxbxcaxaxbxbxaxxbxxaxxxxbxxxxaxxb−=++−++=−+−=−+−=−++−=−++12120xxxx−又12,22bbxxaa−−1212,22bbbxxxxaaa+−−−+−又()120,aaxxb+−()120axxb++()12()fxfx−()()12120xxaxxb=−++即()12()fxfx故函数()20yaxbxca=++在,2ba−−是减函数。b.在,2ba−+上任取12,xx,且12xx,则()()()()()()()()()()221211222212122212121212121212()fxfxaxbxcaxbxcaxaxbxbxaxxbxxaxxxxbxxxxaxxb−=++−++=−+−=−+−=−++−=−++12120xxxx−又12,22bbxxaa−−1212,22bbbxxxxaaa+−−−+−又()120,aaxxb+−()120axxb++()12()fxfx−()()12120xxaxxb=−++即()12()fxfx故函数()20yaxbxca=++在,2ba−+是减函数。(3)反比例函数(0)kykx=解:单调区间为(),0−,()0,+,当0k时,函数在(),0−和()0,+上都为减函数;当0k时,函数在(),0−和()0,+上都为增函数。证明函数(0)kykx=在(),0−上是减函数;在()0,+上是减函数。证明:在(),0−上任取12,xx,且12xx,则()()121221122112()kkfxfxxxkxkxxxkxxxx−=−−=−=12210xxxx−又()210,0kkxx−6又120,0xx,120xx()()211212()0kxxfxfxxx−−=即()12()fxfx故函数(0)kykx=在(),0−上是减函数。(4)指数函数xya=,当01a时,在R上是减函数;当1a时,在R上是增函数。证明:a.在定义域R上任取12,xxR,且12xx,则()112212()xxxxfxaafxa−==1212,0xxxx−又1201,1xxaa−即()12()1fxfx故()12()fxfx所以函数()01xyaa=在R上是减函数。b.在定义域R上任取12,xxR,且12xx,则()112212()xxxxfxaafxa−==1212,0xxxx−又121,1xxaa−即()12()1fxfx故()12()fxfx所以函数()01xyaa=在R上是增函数。例1讨论函数()()201axfxax=−在()1,1−上的单调性。解:任取()12,1,1xx−,且12xx,则()()()()()()()()()()()()()()()()()121222122212212212221212122212221221212212122121221221122212()111111111111111axaxfxfxxxaxxaxxxxaxxaxaxxaxxxaxxaxxaxaxxxaxxxxaxxxxaxxxxxx−=−−−−−−=−−−−+=−−−+−=−−−+−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