高中数学复习 知识清单

1一、集合的含义与表示（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）。（3）常用数集及其表示符号名称自然数集（非负整数集）正整数集整数集有理数集实数集符号N*NZQR（4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。二、集合间的基本关系表示关系定义记法集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB=子集集合A中任意一元素都在集合B中AB或BA真子集集合A中任意一元素都在集合B中，且集合B中至少有一个元素不在集合A中空集（没有任何元素的集合）空集是任何集合的子集A空集是任何集合的真子集三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示集合A和集合B的所有元素，记作AB集合A和集合B的共同元素，记作AB若全集为U，集合A是U的子集，集合U除去集合A中所有的元素，剩余的所有元素，记作UCA图形表示意义ABxxA=或xBABxxA=且xBUCAxxU=且xA性质(1)AA=;(2)AAA=;(3)ABBA=;(4)ABA=BA(1)A=;(2)AAA=;(3)ABBA=;(4)ABA=AB(1)()UACAU=;(2)()UACA=;(3)()UUCCAA=;(4)()()()UUUCABCACB=(5)()()()UUUCABCACB=知识拓展：设有限集合A中元素的个数为n，则（1）（1）A的子集个数是2n；（2）A的真子集个数是2n-1；（3）A的非空子集个数是2n-1；（4）A的非空真子集个数是2n-2。2一、不等式的定义用数学符号“、、、、”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。二、不等式的基本性质性质性质内容注意对称性abba传递性,abbcac可加性abacbc++可乘性0abacbccc的符号0abacbcc同向可加性abacbdcd++同向同正可乘性00abacbdcd可乘方()0,1nnababnNn可开方()0,2nnababnNn同正三、比较大小的基本方法作差法：理论依据：0;0;0abababababab−−−==。基本步骤：（1）作差；（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形）；（3）结论（与0比较）。四、不等式的解法1、一元一次不等式组（ab）：（1）xaxb的解集为xxb；（2）xaxb的解集为xxa；（3）xaxb的解解为xaxb；（4）xaxb的解集为2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式24bac=−00=0二次函数2yaxbxc=++(0)a的图像一元二次方程20axbxc++=(0)a的根有两个不相等实根()1212,xxxx有两个相等实根122bxxa==−没有实数根20axbxc++(0)a的解集1xxx或2xx2bxxa−R20axbxc++(0)a的解集1xxx或2xxR20axbxc++(0)a的解集12xxxx20axbxc++(0)a的解集12xxxx2bxxa=−3、绝对值不等式3（1）当0a时，有xaxxa或xa；xaxaxa−；（2）当0a=时，有00xxx；0x；（3）当0a时，xaxR；xa；（4）当0a时，有cxdaxcxda++或cxda+；cxdaxacxda+−+.（5）当0a=时，有00cxdxcxd++；0cxd+。（6）当0a时，有cxdaxR+；cxda+。4、分式不等式（1）()()()()()*000fxgxfxgxgx；（2）()()()()()*000fxgxfxgxgx（3）()()()()0*0fxfxgxgx（4）()()()()0*0fxfxgxgx一、函数的概念1、定义（1）两个非空的数集A、B；（2）如果按照某种确定关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应；（3）称:fAB→为从集合A到集合B的一个函数，记作(),yfxxA=。2、函数的定义域、值域（1）定义域：自变量x的取值范围；（2）值域：与x相对应y的取值范围。3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。二、函数的相关结论1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。3、分段函数：自变量x的取值范围不同，需要不同的对应法则。（1）定义域：各个部分的并集；（2）是一个函数；（3）求()fx，要判断自变量x在哪个范围内，在代入相应的表达式。4、求函数定义域的方法：（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为R；分母0；偶次根式下0；奇次根式为R；0次幂底0；指数为R；对数0。（2）若已知函数()fx的定义域为,ab，则函数()()fgx的定义域由()agxb求出。（3）若已知函数()()fgx的定义域为,ab，则函数()fx的定义域为()gx在,xab时的值域。5、求函数解析式的方法（1）待定系数法：若已知()fx的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；例1、已知()fx是一次函数，且()()43ffxx=+，则()fx的解析式。（2）换元法：设()tgx=，解出x，代入()()fgx，求()ft的解析式即可；4（3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于()fx的方程组求出()fx；例2、已知函数()12fxfxx=+，求()fx的解析式。（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。例3、已知()01f=，对任意的实数,xy都有()()()21fxyfxyxy−=−−+，求()fx的解析式。一、函数的单调性1、单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数()fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有()()12fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数。当12xx时，都有()()12fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数。2、单调区间的定义若函数()fx在区间D上是增函数或减函数，则称函数()fx在这一区间上具有单调性，区间D叫做()fx的单调区间。3、判断（证明）单调性的方法（1）图像法：在区间D上，图像呈上升趋势，则函数在区间D上是增函数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间D上是减函数。（2）利用定义证明函数单调性的步骤：a.任取12,xxD，且12xx；b.作差()()12fxfx−；c.变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；d.定号（即判断()()12fxfx−的正负，和“0”比较）；e.下结论（即指出函数()fx在给定的区间上的单调性）。4、几种初等函数单调性的判断（证明）（1）一次函数(0),ykxbkxR=+解（证明）：在定义域R上任取12,xxR,且12xx，则()()12fxfx−=()12()kxbkxb+−+12()kxx=−12120xxxx−当0k时，有()()1212()0fxfxkxx−=−即()()12fxfx故函数ykxb=+在R上是增函数。而当0k时，有()()1212()0fxfxkxx−=−即()()12fxfx故函数ykxb=+在R上是减函数。（2）二次函数()20yaxbxca=++解：单调区间为,2ba−−，,2ba−+,当0a时，函数在,2ba−−是减函数；在,2ba−+上是增函数；当0a时，函数在,2ba−−是增函数；在,2ba−+上是减函数证明函数()20yaxbxca=++在,2ba−−是减函数；在,2ba−+上是增函数。5证明：a.在,2ba−−上任取12,xx,且12xx，则()()()()()()()()()()221211222212122212121212121212()fxfxaxbxcaxbxcaxaxbxbxaxxbxxaxxxxbxxxxaxxb−=++−++=−+−=−+−=−++−=−++12120xxxx−又12,22bbxxaa−−1212,22bbbxxxxaaa+−−−+−又()120,aaxxb+−()120axxb++()12()fxfx−()()12120xxaxxb=−++即()12()fxfx故函数()20yaxbxca=++在,2ba−−是减函数。b.在,2ba−+上任取12,xx,且12xx，则()()()()()()()()()()221211222212122212121212121212()fxfxaxbxcaxbxcaxaxbxbxaxxbxxaxxxxbxxxxaxxb−=++−++=−+−=−+−=−++−=−++12120xxxx−又12,22bbxxaa−−1212,22bbbxxxxaaa+−−−+−又()120,aaxxb+−()120axxb++()12()fxfx−()()12120xxaxxb=−++即()12()fxfx故函数()20yaxbxca=++在,2ba−+是减函数。（3）反比例函数(0)kykx=解：单调区间为(),0−，()0,+，当0k时，函数在(),0−和()0,+上都为减函数；当0k时，函数在(),0−和()0,+上都为增函数。证明函数(0)kykx=在(),0−上是减函数；在()0,+上是减函数。证明：在(),0−上任取12,xx,且12xx，则()()121221122112()kkfxfxxxkxkxxxkxxxx−=−−=−=12210xxxx−又()210,0kkxx−6又120,0xx，120xx()()211212()0kxxfxfxxx−−=即()12()fxfx故函数(0)kykx=在(),0−上是减函数。（4）指数函数xya=，当01a时，在R上是减函数；当1a时，在R上是增函数。证明：a.在定义域R上任取12,xxR,且12xx，则()112212()xxxxfxaafxa−==1212,0xxxx−又1201,1xxaa−即()12()1fxfx故()12()fxfx所以函数()01xyaa=在R上是减函数。b.在定义域R上任取12,xxR,且12xx，则()112212()xxxxfxaafxa−==1212,0xxxx−又121,1xxaa−即()12()1fxfx故()12()fxfx所以函数()01xyaa=在R上是增函数。例1讨论函数()()201axfxax=−在()1,1−上的单调性。解：任取()12,1,1xx−，且12xx，则()()()()()()()()()()()()()()()()()121222122212212212221212122212221221212212122121221221122212()111111111111111axaxfxfxxxaxxaxxxxaxxaxaxxaxxxaxxaxxaxaxxxaxxxxaxxxxaxxxxxx−=−−−−−−=−−−−+=−−−+−=−−−+−