线性代数-ch01-复旦大学(周勇)课件

线性代数主讲：第一章行列式内容提要§1二阶与三阶行列式§2n阶行列式的定义§3行列式的性质§4行列式按行（列）展开§5克莱姆法则行列式的概念.行列式的性质及计算.——线性方程组的求解.•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.§6典型例题§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa212221121122211)(baabxaaaa当时，该方程组有唯一解021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax其求解公式为11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.1112112212212122aaDaaaaaa11122122aaaa记号11122122aaaa数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221aaaa其中，称为元素.(1,2;1,2)ijaiji为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.二阶行列式的计算11122122aaaa11221221aaaa主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－次对角线上两元素之积——对角线法则二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb若令11122122aaDaa1211222bbaDa1221121baDab(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD二、三阶行列式定义1.1设有9个数排成3行3列的数表引进记号称为三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa主对角线次对角线三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233aaaDaaaaaa132132aaa112233aaa122331aaa132231aaa122133aaa112332aaa注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.1232-2-1-34-5D例2计算行列式解按对角线法则，有D1(2)(5)2(1)(3)3423(2)(3)22(5)14(1)46方程左端解由得2111230.49xx例3求解方程1229184322xxxxD,652xx2560xx3.2xx或§2n阶行列式的定义从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n阶行列式的定义．问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的总个数，通常用Pn表示.(1)(2)321!nPnnnn显然即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.一、全排列及其逆序数所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，321对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.12niii12()niii奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.例：排列32514计算排列的逆序数的方法11nn设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12niiininin1ni1ni1n1i1i1解：例1：计算[135(21)246(2)]nn[135(21)246(2)]nn(1)01(1)2nnn二、对换定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．定理2.1一个排列中的任意两个元素对换，改变奇偶性.对于对换这个简单的概念，最重要的只需要明确对换的作用三、n阶行列式的定义111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项的符号是：把每一项写成，是1、2、3的某个排列，当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123pppaaa123ppp123ppp123ppp所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)pppppppppaaa其中表示对1、2、3的所有排列求和.123ppp二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa1.n阶行列式共有n!项．2.每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．3.每一项的符号：当这一项中行标是按自然序排列，如果这一项的列标是偶排列时，取正号；列标是奇排列时，取负号.1212121112121222()1212(1)nnnnnpppppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa简记作，其中为行列式D的(i,j)元det()ijaija定义2.1n阶行列式练习1：写出四阶行列式中含有因子的项.2311aa解：11233244aaaa11233442.aaaa和练习2：试判断和142331425665aaaaaa324314512566aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.是六阶行列式中的项.142331425665aaaaaa不是六阶行列式中的项.324314512566aaaaaa解：12,11nnnaaDa1122nnaaDa(1)对角行列式nnaaa2211(2)(1)212,11(1)nnnnnaaa例2：计算行列式nnnnaaaaaaD21222111000nnnnaaaaaaD00022211211(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nnaaa2211(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nnaaa2211例3用行列式的定义计算0001000200100000000nDnn1221!nnnDn解1,12,21,1111211!nnnnnnDaaaannn12212321122nnnnnnn定理2.2n阶行列式也可定义为121212()12(1)nnnqqqqqqnqqqDaaa定理2.3n阶行列式也可定义为121211221212()()(1)nnnnnnpppqqqpqpqpqpppqqqDaaa三、n阶行列式定义的其他形式思考题已知，求的系数.1211123111211xxxxxf3x故的系数为－1.解含的项有两项，即3x1211123111211xxxxxf对应于124311223443(1)taaaa(1234)11223344(1)taaaa(1234)311223344(1),taaaax1243311223443(1)2taaaax3x§3行列式的性质提供了计算行列式的一种方法：利用行列式的性质恒等变形化为三角形行列式一、行列式的性质111212212212,nnnnnnaaaaaaaaDa行列式称为行列式的转置行列式.TDD若记，则.det(),det()TijijDaDbijjiba记性质1行列式与它的转置行列式相等,即.TDD212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa121212()12(1)nnnpppTppnppppDbbb性质1行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记，则det(),det()TijijDaDb,1,2,,ijjibaijn1121221()2(1)nnnpppppppppnaaaD行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2交换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是175662358175358662196196175175662358358662推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.DD0D备注：交换第行（列）和第行（列），记作.ji()ijijrrcc性质3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．验证111213212223313233,aaaDaaaaaa我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak备注：第行（列）提出公因子，记作.ki()iirkck1112131212223313233kkaaaDaaaaaak112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaakaDk推论2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.kk备注：第行（列）乘以，记作.ki()iirkck212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa验证我们以4阶行列式为例.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：121222221113212331332323aaDaaabababaa则111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa121222221113212331332323aaDaaabababaa221231312322()13(1)()pptppppppppabaa123123131312322123()()132213(1)(1)tppptpppppppppppppppaaaaba111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaa