高等数学(A)第一学期期末试题及答案

第1页共4页2011—2012学年第一学期考试卷高等数学(A)Ⅰ课程类别：必闭卷（√）试卷编号：(A)卷题号一二三四总分123456712分值188888888998得分阅卷人手工计算机考生注意事项：1、本试卷共4页，总分100分，考试时间120分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每题3分，共18分)______)(lim1=−−++→xxxxx极限、_____000)1()(23===−=axxaxxxfx则处连续，在，，设函数、__________dd13202=+=yttyx则，设、______d)sin(41132=+−xxx定积分、_____}221{}101{5=−=−=的夹角为，，与，，向量、ba___________________)()315()112(6方程为即对称式的直线标准式，，和，，过点、NM−二、计算题(每题8分，共56分))2211(lim1222nnnnnn++++++→求极限、得分评阅人得分评阅人承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。专业班级学号学生签名：第2页共4页)1sin1(cotlim20xxxx−→求极限、222ddddarctan1)1ln(3xyxytytx及求，设、−=+=)(0)0(11)(ln4xffxxf求，且已知、=+=得分评阅人得分评阅人得分评阅人第3页共4页xxxdsin52求不定积分、−12222d16xxx求定积分、的平面方程且平行直线求过直线、=++=−+=+=−+−423002721zyxzyxlyxzyxl三、应用题(每题9分，共18分)得分评阅人得分评阅人得分评阅人第4页共4页？并求最小表面积为多少时其表面积最小当底面边长，其体积为的一个直柱体，设有底面为等边三角形、21.12的体积轴旋转一周所得旋转体及该平面图形绕所围平面图形的面积及直线，求由曲线、xxeyeyxx===−四、证明题(8分)上单调增加，在证明：，，上满足，在设)0()()(0)0(0)()0[)(+==+xxfxFfxfxf得分评阅人得分评阅人得分评阅人第5页共4页《高等数学(A)》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共18分)11、；32−e、；xxxd1234+、；324、；435、；4101326+=−=−zyx、二、计算题(每题8分，共56分)121221121122222++++++++++++++nnnnnnnnnn解：、)1(2)1(2211212222++++++++nnnnnnnn即，21)1(2)1(lim2=++→nnnn又21)2211(lim222=++++++→nnnnnnxxxxxx20sin)sin(coslim2−=→原式解：、30sinlimxxxx−=→203cos1limxxx−=→xxx6sinlim0→=61=212dd3tttx+=解：、211ddtty+−=，ttxtyxy21d/dd/ddd−==xtttxydd)21(dddd22−=3222412121ttttt+=+=xexfxxf+=+=11)(11)(ln4得：由解：、+=xexfxd11)(+−=xeexx)d11(Cexx++−=)1ln(2ln0)0(==Cf得：又由，2ln)1ln()(++−=xexxf故或)1(11)(ln11)(lnxxxxfxxf+=+=得：由xxxxxxfd)1(1d1)(ln+=xxxxfd)111()(ln+−=Cxx++−=)1ln(ln，Cexxfx++−=)1ln()(故2ln0)0(==Cf得：又由，2ln)1ln()(++−=xexxf故−=xxxd22cos15解：原式、−=xxxxdsin241d21+−=xxxxxd2sin412sin41412Cxxxx+−−=2cos812sin41412ttxtxdcosdsin6==则，令解：、，422；时，当==tx21==tx时，当第6页共4页=242dcossincostttt原式−=242d)1(csctt24)cot(tt−−=41−=0)(27=++−+−yxzyx设所求平面方程为解：、，02)1()1(=−+−++zyx即}132{1121112−−=−=，，的方向向量为kjisl0)1(1)3()1(2)(1=−+−−++由已知得：4=0235=−++zyx故所求方程为：或}211{01111111，，的方向向量为−=−=kjisl，}132{11211122−−=−=，，的方向向量为kjisl}135{13221121，，法向量为=−−−==kjissn，)011(011，，上一点得的方程中令在−=lzl0)1(3)1(5=+++−zyx故所求平面方程为，0235=−++zyx即三、应用题(每题9分，共18分)2381xhhx=则，高为，设底面边长为解：、，xxS38232+=故表面积为2383xxS−=，20==xS得唯一驻点令时表面积最小边长故由问题实际意义得当2=x，36min=S最小表面积为−−=10d)(2xeeSxx面积解：、10)(xxee−+=3分21−+=−ee−−=1022]d)()[(xeeVxx体积1022)2121(xxee−+=)2(222−+=−ee四、证明题(8分)2)()()(xxfxxfxF−=证：，)0()()0()()(xxffxfxf=−=第7页共4页xfxfxF)()()(−=，)()()(0)(fxfxfxf单调增加，所以，又上单调增加，在故，)0()(0)(+xFxF