随机过程题库1

随机过程综合练习题一、填空题（每空3分）第一章1．nXXX,,21是独立同分布的随机变量，iX的特征函数为)(tg，则nXXX21的特征函数是。2．)(YXEE。3．X的特征函数为)(tg，baXY，则Y的特征函数为。4．条件期望)(YXE是的函数，（是or不是）随机变量。5．nXXX,,21是独立同分布的随机变量，iX的特征函数为)(tgi，则nXXX21的特征函数是。6．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为)10(pp，以)(nX记进行到n次试验为止A发生的次数，则},2,1,0),({nnX是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数),(tsCX。第三章11．{X(t),t≥0}为具有参数0的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1，2，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。13．{X(t),t≥0}为具有参数0的齐次泊松过程，nsXstXP)()(。,1,0n14．设{X(t),t≥0}是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望是。15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是（复合or非齐次）泊松过程．17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是．第四章18．无限制随机游动各状态的周期是。19．非周期正常返状态称为。20．设有独立重复试验序列}1,{nXn。以1nX记第n次试验时事件A发生，且pXPn}1{，以0nX记第n次试验时事件A不发生，且pXPn1}0{，若有1,1nXYnkkn，则}1,{nYn是链。答案一、填空题1．)(tgn；2．EX；3．)(atgeibt4．;Y是5．niitg1)(；6．等价7．时间差；8．独立增量过程；9．0)()()()(3412tXtXtXtXE10．}),(min{2tsX11．tt;；12．000)(11ttetft000)()()(321321ttetft13．tnent!)(14．n15．24000016．复合；17．4371e18．2；19．遍历状态；20．齐次马尔科夫链；二、判断题（每题2分）第一章1．)(tgi),2,1(ni是特征函数，niitg1)(不是特征函数。（）2．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（）3．任意随机变量均存在特征函数。（）4．)(tgi),2,1(ni是特征函数，niitg1)(是特征函数。（）5．设1234X,X,X,X是零均值的四维高斯分布随机变量，则有1234123413241423()()()+()()+()()EXXXXEXXEXXEXXEXXEXXEXX（）第二章6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）7．独立增量过程是马尔科夫过程。（）8．维纳过程是平稳独立增量过程。（）第三章9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）第四章10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）12．有限马尔科夫链，若有状态k使0lim)(niknp，则状态k即为正常返的。（）13．设Si，若存在正整数n，使得,0,0)1()(niiniipp则i非周期。（）14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）15．i是正常返周期的充要条件是)(limniinp不存在。（）16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）18．i是正常返周期的充要条件是)(limniinp存在。（）19．若ij，则有ijdd（）20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（）答案二、判断题1．×2．√3．√4．√5．√6．√7．√8．√9．×10．√11．√12．√13．√14．√15．√16．√17．×18．×19．√20．√三、大题第一章1．（10分）—（易）设),(~pnBX，求X的特征函数，并利用其求EX。2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，出现正面和反面的概率相等，求)(tX的一维分布函数)2/1,(xF和)1,(xF，)(tX的二维分布函数)1,2/1;,(21xxF。3．（10分）—（易）设有随机过程0,)(tBtAtX，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求)(tX的一维和二维分布。第二章4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b，t∈(0,+∞),b为常数，V服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数Bx(t1,t2)，g(t)为普通函数，令Y(t)=X(t)+g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。6．（10分）—（中）设}),({TttX是实正交增量过程，,0)0(),,0[XT是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一)(,0tXt都与相互独立，求),0[,)()(ttXtY的协方差函数。7．（10分）—（中）设},)({tYtXtZ，若已知二维随机变量),(YX的协方差矩阵为2221，求)(tZ的协方差函数。8．（10分）—（难）设有随机过程}),({TttX和常数a，试以)(tX的相关函数表示随机过程TttXatXtY),()()(的相关函数。第三章9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。11．（15分）—（难）设X1(t)和X2(t)是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数21的泊松过程。12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。13．（10分）—（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为,2,1,0,!)(kekkpkt，其中0为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率)(2nPt14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2min15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W≥2}．16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min内没有车辆通过的概率为0.2，求2min内有多于一辆车通过的概率。17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4min18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费.以X(t)记在[0，t]内得到的总手续费，求EX(t)与varX(t)19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求(1)在5min内到达顾客数的平均值；(2)在5min内到达顾客数的方差；(3)在5min内至少有一个顾客到达的概率．20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率．21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t)(t≥0)是强度分别为X和Y的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t)恰好有k个事件发生的概率为kYXYYXXp。第四章22．（10分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为时，经三步转移后处于状态3的概率。23．（15分）—（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数，则{X(n)，n≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X(n)，n≥0}是遍历链；（3）求2,1,0,lim)(jPnijn。24．（10分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：求下一、二个月的销售状态分布。25．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间I＝{1，2，…，7}，转移概率矩阵为求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26．（15分）—（难）设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3，4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；(3)河流再次达到污染的平均时间4。27．（10分）—（易）设马尔可夫链的状态空间I＝{0，1，2，3}，转移概率矩阵为求状态空间的分解。28．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间为I＝{1，2，3，4}．转移概率矩阵为讨论)(1limninp29．（10分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为求其平稳分布。30．（15分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且p+q+r=1．设每局比赛胜者记1分，负者记一1分．和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束．以nX表示比赛至n局时甲获得的分数，则}1,{nXn是齐次马尔可夫链．（1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵；（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率．31．（10分）—（中）(天气预报问题)设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l。因此问题是两个状态的马尔可夫链．设4.0,7.0，求今天有雨且第四天