电磁波的传播

第四章电磁波的传播本章重点：1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波2、反射和折射定律的导出、振幅和相位关系3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式本章难点：1、振幅和相位关系2、导体内的电磁波3、谐振腔和波导中电磁波求解电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，以波动的形式存在，这就是电磁波。传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的运动。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等等，因此传播问题本质上是边值问题。§4.1平面电磁波电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。平面波：波(阵)面为平面波阵面波线§4.1平面电磁波一、电磁场波动方程1．自由空间电磁场的基本方程00BEtDHtDB一般情况下，麦克斯韦方程组为0BDJtDHtBE自由空间中ρ=0，，麦克斯韦方程组可写为左式。0J00BEtDHtDB2．真空中电磁场的波动方程在真空中，，，对上第一式取旋度并利用第二式得自由空间中ED0HB0tEtDHtBttBE0000)()(2．真空中电磁场的波动方程tEtDHtBttBE0000)()(利用下述公式及EEEE22)()(0E可得电场的偏微分方程012222tEcE同理可得磁场的偏微分方程012222tBcB022002tEE令001c2．真空中电磁场的波动方程012222tEcE012222tBcB左式称为电磁场波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度。在真空中，一切电磁波都以速度c传播。3．介质的色散在线性介质中DEBH对均匀介质的现象称为介质的色散。研究介质中电磁波传播问题时，必须给出和以及和间的关系。DEBH即在线性介质中，ε和μ不再是常数，而是频率的函数()()故不能推出电场和磁场的一般波动方程txEtxD,,txHtxB,,电磁波的频率成分一般不是单一的（非正弦变化），可能含有各种频率成分。因此，一般地由于一般情况下，及，不能将真空中的波动方程简单地用代、代转化为介质中的波动方程。EDHB004．时谐波及其方程这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示为左式,itExtExe以单一频率ω做正弦（或余弦）振荡的电磁波称为时谐波（又称单色波或定态电磁波）。许多实际问题中，电磁波的激发源以大致确定的频率作正弦振荡，辐射的电磁波也以相同的频率作正弦振荡。tiexBtxB,tiexDtxD,tiexHtxH,同样的，有电磁场对时间的依赖关系对单一频率、成立。介质中波动方程为左式EDHB,itExtExetiexBtxB,1v0),(1),(2222ttxEvtxE0),(1),(2222ttxBvtxB其中),(),(,),(),(222txEttxEtxEittxE0)()(222xEvxE因此0),(),(222txEvtxE可以被销去tie由vk令0222EvE022EkE可得亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程0)()(222xEvxE可以写作022BkB对磁场这里)(xEE)(xBB另外，时谐情形下的麦氏方程组为0)(0)()()()()(xHxExEixHxHixE因而，解出电场后，磁场可由下式给出0)(0)()()()()(xHxExEixHxHixE（或者）EiHiBE亥姆霍兹方程220EkEiBE220BkBiEBvk0E0B同样，解出磁场后，可以进一步求出电场。归纳如左式亥姆霍兹方程220EkEiBE220BkBiEBvk亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解代表电磁波场强在空间中的分布情况。波动方程的推导过程中利用了条件0E0B但是，亥姆霍兹方程本身并不能保证上述条件成立，因而必须加上该条件才能代表电磁波的解。0E0B亥姆霍兹方程每一个满足限制条件的解代表一种可能存在的波模。亥姆霍兹方程有多种形式的解：平面波解，球面波解，等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。研究平面波解的意义：①简单、直观、物理意义明显；②一般形式的波都可以视为不同频率平面波的线性叠加。二、平面电磁波设电磁波沿x轴方向传播，其强度在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即和仅与x，t有关，而与y，z无关。此即平面电磁波。EBx电磁波传播方向1．平面波解的形式tkxieEtxE0,它的一个解是二、平面电磁波对平面电磁波，亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程0)(d)(d222xEkxxEikxeExE0因而时谐平面波场强的全表示式为tkxieEtxE0,由条件得0E0,txEeikx即要求，因此，只要与x轴垂直，其解就代表一种可能的模式。0xE是电场振幅，代表波动的相位因子。0Etkxie时谐平面波场强022EkE亥姆霍兹方程1．平面波解的形式tkxieEtxE0,二、平面电磁波实际计算中，场强只取实部分)cos(),(0tkxEtxE相位因子的意义：在时刻t=0，相位因子是coskx，x=0的平面处于波峰。在时刻t，相位因子是cos(kx−ωt)，x=ωt/k的平面处于波峰。在时间0~t内，波峰移动ωt/k。因而线性均匀绝缘介质内相速度为1ktxvtkxieBtxB0,2．平面电磁波的传播特性(1)平面波的一般解txkieEtxE0,前面选择电磁波沿x轴方向传播，推广到一般情况，平面电磁波的表达式为左式：是沿电磁波传播方向的一个矢量，k设S为与垂直的平面。在S面上相位Rs为在上的投影常数skRxkkkxksRxSoktkxieBtxB0,2．平面电磁波的传播特性(1)平面波的一般解txkieEtxE0,ksRxSo因此在同一时刻，S平面为等相面，而波沿方向传播k称为波矢量，其量值k称为波数。ktkxieBtxB0,(2)波长波长定义：两相位差为2π的等相面间的距离。kRRss22)(ssRRk两等相面相位差：波长k20BkEk(3)横波特性(TEM波）0Ek0Bk同理加限制条件可得0E0)()(00)()(0txkitxkitxkieEkiEeeEE因而可得（4）与的关系EkBEkEeieEiEiBtxkitxki0)()(0)(BE（4）与的关系BEEkB平面波特性总结：a)横波，与都与传播方向垂直BEBEkBE,,b)构成右手螺旋关系c)与同相位；振幅比为波速EvBkBEEkEeieEiEiBtxkitxki0)()(0)(，沿波矢的方向BE0BkEk（5）波形图假定在某一时刻（），取的实部，其波形图0ttBE,k3．平面电磁波的能量和能流2212121BEBHDEw1vBE22BEw电场能等于磁场能kSEHvwe电磁能量传播方向与电磁波传播方向一致2()()kkEekEEEkEkESEHEvwetxkEEw2202cos2012wE2011Re22kSEHEe瞬时能量密度平均能量密度平均能流密度2220coskkSvEevEkxte瞬时能流密度例一：有一平面电磁波，其电场强度为26,100exp[(210210)]xExteizt（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；（2）确定频率、波长和波速；（3）若介质的磁导率，求磁场强度；（4）求在单位时间内从一个与平面平行的单位面积通过的电磁场能量。)H/m(1047yx波沿方向传播。解：（1）沿轴方向振荡，Exkzxk2102kz)(6102Hzf（2）6102)(1022mk)/(108smkv（3），，vBEHBvEH5.210104100870H)]102102(exp[5.262tzieHy与同相位同频率，与垂直且与垂直，故它在y轴方向。HEkE（4）：单位时间垂直通过单位横向截面的能量SvwS222725010BwEH2500S§4.2电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象（如光入射到水面、玻璃面等）。反射、折射定律包括两个方面的问题：（1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题；（2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化关系。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正确性。一、反射和折射定律时谐电磁波情形下的麦氏方程组为0)(0)()()()()(xHxExEixHxHixE对第一式取散度0)(HiE因而0H即可以由上述第一式推出第四式。同样可以由第二式推出第三式。也就是说，在一定频率下，只有一、二式是独立的。一、反射和折射定律第一章中给出了电磁场的边值关系21212121()0()()()0nnnneEEeHHeDDeBB2121()0()0nneEEeHH其中σ和分别是面自由电荷密度和面电流密度绝缘介质界面上，σ=0，。边值关系由麦氏方程组推得，因此，时谐电磁波的边值关系不是完全独立的，由一、二式可导出三、四式。故，时谐电磁波的边值关系为0一、反射和折射定律1．反射、折射定律的导出过程假设入射波为单色平面电磁波，反射波、折射波也为平面波。入射波、反射波、折射波的电场强度分别为、和，波矢量分别为、和。它们的平面波表达式分别为)(0)(0)(0txkitxkitxkieEEeEEeEE