9.8--酉空间的介绍

第九章欧几氏空间§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§7向量到子空间的距离─最小二乘法§5子空间§8酉空间的介绍主要内容定义酉空间中的重要结论*第八节酉空间介绍一、定义欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的.酉空间实际就是复数域上的欧氏空间.定义1设V是复数域上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作(,),它具有以下性质：1)(,)=(,)，这里(,)是(,)的共轭复数；2)(k,)=k(,);3)(+,)=(,)+(,);4)(,)是非负实数，且(,)=0当且仅当=0.这里,,是V中任意的向量，k为任意复数，这样的线性空间称为酉空间.例在线性空间Cn中，对向量=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),定义内积为(,)=a1b1+a2b2+…+anbn.(1)显然，内积(1)满足定义15中的条件.这样Cn就成为一个酉空间.二、酉空间中的重要结论由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的结论，而不详细论证.首先由内积的定义可得到1)(,k)=k(,).2)(,+)=(,)+(,).和欧氏空间一样，因为(,)0，故可定义向量的长度.3)),(叫做向量的长度，记为||.4)柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对任意的向量,有|(,)|||||，当且仅当,线性相关时，等号成立.注意：酉空间中的内积(,)一般是复数，故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入5)向量,，当(,)=0时称为正交或互相垂直.在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充成为一组标准正交基.7)对n级复数矩阵A，用A表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足ATA=AAT=E，则称之为酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.它们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把它列举在下面：8)酉空间V的线性变换A，如果满足(A,A)=(,)，就称为V的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9)如果矩阵A满足AT=A，则叫埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间Cn中令,2121nnxxxAxxxA则(A,)=(,A)，A也是对称变换.10)V是酉空间，V1是子空间，V1是V1的正交补，则V=V1V1.又设V1是对称变换的不变子空间，则V1也是不变子空间.11)埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同特征值的特征向量必正交.12)若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C，使C-1AC=CTAC是对角形矩阵.13)设A是埃尔米特矩阵，二次齐次函数XAXxxaxxxfninjjiijnT1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C，当X=CY时.),,,(22211121nnnnyydyydyydxxxf