最优估计之卡尔曼滤波器的发散抑制方法

最优估计第7章卡尔曼滤波器的发散抑制方法滤波的发散现象限定增益滤波误差方差阵加权滤波衰减记忆滤波限定记忆滤波增广状态滤波平方根滤波3上一章要点回顾问题：卡尔曼滤波最优的条件？否则滤波易发散。模型精确，统计特性已知。4内容提要针对卡尔曼滤波的发散问题，讨论了若干抑制滤波发散的方法。对于模型误差导致的发散，可以通过直接和间接限定增益的方法增强新测量数据的作用，如限定增益滤波、误差方差阵加权滤波；可以增加新数据的比重，减小旧数据的比重，如衰减记忆滤波和限定记忆滤波；也可以将模型误差作为状态的一部分而估计，即增广状态滤波。对于计算发散，可以采用平方根滤波法，减小截断误差的影响。57.1滤波的发散现象发散：实际的估计误差超过理论预计值，非常大，甚至趋于无穷。发散视在发散真实发散模型发散数值发散模型非完全能控能观计算机截断误差系统模型或噪声不准两类发散现象二者区别视在发散：滤波误差大，但有界；真实发散：滤波误差趋于无穷。各类发散的解决方案视在发散的解决方法：（1）如果是由模型引起的，可通过改变系统的结构及参数，使系统的状态完全能控能观；（2）如果是数值发散，可以采用双字长运算，减少有效数字损失，也可以采用平方根滤波方法。真实发散的解决方法：削弱预测在滤波估计中的作用，而增加新息的作用。87.2限定增益滤波)ˆ(ˆˆ1|1||kkkkkkkkkxHzKxx来自模型来自观测离散系统卡尔曼最优估计：限定增益滤波的思想：降低模型误差产生的影响，削弱最优估计公式中状态预测的作用，而增加新息的作用，这需要通过限定增益来实现。无关。，且与式中，测方程如下：某系统的状态方程和观0201),0(~xNvvxzkcxcxxkkkkkk例：若建立系统模型时忽略了常数c，即：xxkk1，由滤波基本方程得：，无验前知识，取初值0|00|00ˆPxkkkTkkkkkkkkkkPQPPxxx|||1|||1ˆˆˆkkPPPHRHPPkkkkkTkkkk21210|01212|11211|11111||][]2[]1[][0|kkPk时，当11][][12221|1|11kkkRHHPHPKkTkkTkkkkkkkkzkxkkx1ˆ1ˆ1|1|同理：111|111ˆ0,,2kiikkzkxkk，以此类推，得令][11ˆ11ˆ11|11|1kkkkkkzzkxkkx1|11|1|11|1|111ˆ1ˆ)1(]ˆ[ˆˆkkkkkkkkkkkkkkkkzkxkkzKxKxHzKxxkkkkvkcxvxz0真实观测方程1101|11122ˆkiikkvkckxxkiikkvkckxx10|121ˆ同理，kcxcxxkk01kiikkkkkvkckxxx1||121ˆ~差：真实状态与滤波值的误kckxxETkkkk222||4)1(]~~[真实的滤波误差方差：）（kPkk2|。，但时，虽然当]~~[0|||TkkkkkkxxEPk滤波发散了！发散原因？建模时忽略了常数？实际上，建模时即便考虑了常数，但如果不准确，即若取模型：)(1cddxxkk]~~[)(4)1(]~~[1)(21ˆ~||222||1||TkkkkTkkkkkiikkkkkxxEkkdckxxEvkdckxxx时，仍有当则得滤波发散。分离，最终导致去作用，使滤波与测量作用越来越小，直至失新数据对滤波的的增长而迅速减小，使随着使增益系数而趋于零的速度过快，从的增长，发散的直接原因：随着kKPkkkk|克服此类发散的方法：MkMMkkKMKkk,1,1个）之后，使（例如的减小。即在某个测量限制12)1(]~~[222||McMxxETkkkk滤波均方误差：发散得到抑制M的取法：cMxxETkkkk11]~~[2||M=?原则：滤波的均方误差（误差方差）应小于观测误差方差。147.3误差方差阵加权滤波方法思想：通过加权的方法人为地增大滤波误差方差阵，从而间接地增大增益阵，抑制真实发散。TkkkkkTkkkkkkkkQPsP1,11,1,1|11,1|1.人为加权法：倍，即提高时，人为地将计算sPPkkkk1|11|两种加权方法：人为加权法和自动加权法。11|0|01111kkkkkssRPKP，得取sKkk11lim增益不会衰减到0，发散得到抑制。倍，则有：增大上一节的例子中，若将11|1sPkk21)1(2212110|022112|22211|111|11ssssPssPsPsPkkkkkkkkk1|11|kkkksPP1|211|111|1|1kTkkkkkkTkkkkRHPKPHRHPP公式：用近似模型计算时采用2.自动加权法：由于滤波产生发散的直接原因是实际估计误差超过理论预计值，因新息中包含了实际估计误差的信息，可用其判断滤波器是否发散。kkkkkTkkkkTkkkkkkkkkkkkvxHRHPHExHvxHzz1|1|1|1|~ˆˆ}{tr1|kTkkkkkTkRHPH判据：kTkkkkTkkkTkkkkkTkRHPHRHPH1|1|}{tr1，严格收敛条件：当)ˆ1(}{tr1|kkkkTkkkTkzzE，判据：当此式不成立时，滤波发散。kTkkkkTkkRHPH1|TkkkkkTkkkkkkkkkQPSP1,11,1,1|11,1|kTkTkkkkkkTkTkkkkkkkkTkkRHQHHPHS1,11,1,1|11,}{}{1,1|11,1,11,TkTkkkkkkkkTkTkkkkkkTkkkHPHtrRHQHtrS1||11|1|1,11,1,1|11,1|1|11,1|11,|][][]ˆ[ˆˆkkkkkkkTkkkkTkkkkTkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPHKIPRHPHHPKQPSPxHzKxx滤波方程：，若估计误差kK，kTk，kS，1|kkP187.4衰减记忆滤波方法思想：是一种方差加权法。对滤波器中的方差阵（包括系统噪声方差、观测噪声方差、初始估计误差方差）进行加权，以逐渐减小旧的测量数据的比重，同时增加新数据的比重。权值为指数函数或幂函数。1.指数加权法：)0(CeC权值为按以下方式加权：将11011,,,,,,),0(NNNQQQRRRP1210,,,,11110NNCCCQQeQeQeNNiiNiiNNCCCCRReReRePeNNiiNiiNii,,,,)0(1211121110，)()()()()1()1,()1()1,()(kvkxkHkzkwkkkxkkkxNNNNN这相当于采用新模型：klCkTNNNNNNNkiieQlwkwEkwExkvkw11})]1()[1({,0)]([)0()()(互不相关，且和、其中，klCkTNNNNkiieRlvkvEkvE1})]()[({,0)]([10)0()]0([Var),0(ˆ)]0([NiiCNNePxxxE对模型(7.4.6)在N时刻以后滤波，得-----------------(7.4.6)滤波方程组：)]11(ˆ)1,()()([)()11(ˆ)1,()(ˆkkxkkkHkzkKkkxkkkkxNNNN11))(()(])()1()()[()1()(NkTNNkTNTNNRkHkkPRkHkkPkHkHkkPkK)1,()1,()1,()1|1()1,()1(1kkQkkkkkkPkkkkPTNkTNN111)}())(()]({[)1()]()([)(kHRkHkkPkkPkHkKIkkPNkTNNNN1011)0()0()0(ˆ)0(ˆ11NiiNkiiNkiiCNNCkNkCkNkePPxxeRReQQ，，，其中，)]11(ˆ)1,()()([)()11(ˆ)1,()(ˆ****kkxkkkHkzkKkkxkkkkx滤波方程组：1*1***)()(])()1()()[()1()(kTkTTRkHkkPRkHkkPkHkHkkPkK)1,()1,()1,()1|1()1,()1(1**1kkQkkekkkkPkkkkPTkCTk111****)}()()]1({[)1()]()([)(kHRkHkkPkkPkHkKIkkPkT为某一时刻）（NkkxkkxkkxkkxkKkKNNN)(ˆ)(ˆ)11(ˆ)11(ˆ)()(***)0()0()0(ˆ)0(ˆ**PPxx，初值：11)()()1()1(**NkiiNkiiCNCNekkPkkPekkPkkP，：令2.幂函数加权法：)0,1(aSSa权值为kNkNkkNkNkNNkkSQQSRRSPPQRP11001,,)0(进行加权：，，将1||1,11,1,1|11,1|11|1|1|11,1|11,|][][]ˆ[ˆˆkkkkkkTkkkkkTkkkkkkkkkTkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkPHKIPQSPPRHPHHPKxHzKxx滤波方程组：00|00|000|0,0][ˆPSPPxExNN初值：的影响降低了。的权减小了，即旧数据知，的作用加强了，而由在滤波中，即当前观测，知，说明：由*1|**1|**|*1|*1|ˆˆ][ˆ1kkkkkkkkkkkkkkkkkxzKxHKIxzKKPPS237.5限定记忆滤波。）：事先确定的记忆长度（影响。以前的数据对滤波值的，截断个观测最近的时，只利用离计算NNkzkzNkzNkzNkkkx)1()(,),2(),1(1)|(ˆ方法思想：k1k1Nk截断Nk个1-N)()1()2()1(kzkzzz)1|(ˆkkxkZ111kZ)|(ˆkkx关系图和卡尔曼滤波基本方程中图)|(ˆ)1|(ˆ2.7kkxkkx卡尔曼滤波基本方程的建立过程:)1|(ˆ)}1(,),2(),1({)1(11kkxkzzzZk)|(ˆ)}(,)1(,),2(),1({)2(1kkxkzkzzzZk)]1|(ˆ)()()[()1|(ˆ)|(ˆ)1|(ˆ)|(ˆkkxkHkzkKkkxkkxkkxkkx的关系为：与限定记忆滤波思想:。观测个最近的时，只考虑离，在计算增加新观测数据的影响的权值，程中的影响，即减小估计方为减小模型误差对滤波)(,),2(),1()|(ˆ)1|(ˆkzNkzNkzNkkkxkkx)()1()1()()1(kzkzNkzNkzz)1|(ˆkkxN1NN1kNkZNkNkZ1kNkZ)