指对数函数的典型练习题

指对数函数的典型练习题一、求定义域：【例1】(1)y=log(2)y=11log(a0a1)(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]12a13求函数的定义域．求函数＞，且≠的定义域．已知函数的定义域是，，求函数－的定义3221xxxa()域．解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log()()1232210322102103221132210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx121122312231＜≤＜或＞≠＜≤xxxxx∴所求定义域为＜≤{x|23x1}解(2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．解(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]13∵的定义域为，，∴函数－有意义，必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log(3x)1loglog(3x)log13133x12xy=f[log(3x)][2]131313131318383例2：已知函数fx定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1)2()23fx;(2)212()1log(2)fxyx分析：x的函数f(x2)是由u=x2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x2＜2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求x的取值范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：(1)由0＜x2＜2，得例3：[]解A二、求值域例4、函数121xy的值域是（D）A、,1B、,00,C、1,D、(,1)0,例5、函数22811(31)3xxyx≤≤的值域是。991,33，令222812(2)9Uxxx，∵31,99xU≤≤≤≤,又∵13Uy为减函数，∴99133y≤≤。例6、求下列函数的定义域与值域.(1)y＝231x;(2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝231x的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵31x≠0，∴231x≠1，∴y＝231x的值域为｛y｜y0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)21.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y1｝.例7、求函数216xy的定义域和值域．解：由题意可得2160x≥，即261x≤，∴20x≤，故2x≤．∴函数()fx的定义域是2，∞．令26xt，则1yt，又∵2x≤，∴20x≤．∴2061x≤，即01t≤．∴011t≤，即01y≤．∴函数的值域是01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．三、函数的性质：【例8】f(x)=log(x)(a0a1)a已知函数＋＞，且≠，判断其12x奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－x∈Rf(x)=log(1+xx)=loga2a－－()()111222xxxxxx=log=log=logaaa1111122222xxxxxxxxfx()()∴f(x)是奇函数．解法二已知函数的定义域为R由＋－＋＋－f(x)f(x)=log(1+xx)log(1+xx)=log1+x1+xa22a22[()()]xx=loga1=0∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．【例9】(1)f(x)=log(01)2已知函数，那么它在，上是增函数xx1还是减函数？并证明．(2)讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．(1)证明方法一f(x)在(0，1)上是增函数．设任取两个值x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2．∵－－＜f(x)f(x)=loglog=log=logxlogxx=01222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1122112221221112121212111111log()()(∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x1x2＜x2－x1x2)．∴f(x1)＜f(x2)故f(x)在(0，1)上是增函数．方法二u=x1x令111x∵－在，上是增函数，又∵＞，在，u=1(01)u0y=logu(0211x＋∞上是增函数，∴＝在，上是增函数．)f(x)log(01)2xx1(2)解由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，于是，当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数．例10(1)设0＜a＜1，实数x、y满足logax＋3logxa－logxy=3，如果有最大值，求这时与的值．yax24(2)f(x)=logx3logx212212讨论函数－－－的单调性及值域．解(1)logx=3logy=logxaaa2由已知，得＋，∴－3logloglogaaaxyx3logx3=(logx)aa2＋－＋．3234∵＜＜，∴关于为减函数．即有最大值时，0a1logyyylogyaa24有最小值log24a∴当时，，logx=3log=34aa224∴，，得，．ax=aa=14x=18343224解R(2)t=logxx0tt=logx(0)1212设，则＞，∈，且是，＋∞上的减函数．f(t)=t3t2(][)2－－－是－∞，－上的增函数，是－，＋∞上的3232减函数．－时，t=x=2232∴函数－－－在，上是增函数，在，f(x)=logx3logx2(022]12212[22＋∞)上是减函数．又∵－＋＋，∴值域是－∞，．f(x)=(t)(]3214142例11、若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)＞0，则f(x)[]A．在(-∞，0)内单调递增B．在(-∞，0)内单调递减C．在(-∞，-1)内单调递减D．在(-∞，-1)内单调递增解D依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象(略)即知D正确．例12已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x＜0时，f(x)的解析式是[]A．-x2-lg(1-x)B．x2+lg(1-x)C．x2-lg(1-x)D．-x2+lg(1-x)解A设x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)三、比较大小例13图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是[]A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d解选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．故选C．例14已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．解法一令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．解法二由换底公式，化成同底的对数．当＞＞时，得＞＞，∴＞＞，log3log300logbloga0ab331133loglogab∵函数y=log3x为增函数，∴b＞a＞1．当＜＜时，得＜＜，∴＞＞，log3log3000logblogaba331133loglogba∵函数y=log3x为增函数，∴0＜a＜b．当＞＞时，得＞＞∴＞＞，log30log30loga0logbab331133loglogab即a＞1＞b＞0．例15设0＜x＜1，a＞1，且a≠1，试比较|loga(1－a)|与|loga(1＋x)|的大小．解法一求差比大小．|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|lg(1x)lga||lg()lg||lg|(|lg()||lg()|1111xaaxx=1|lga|(lg(1x)lg(1x)(01x111x)=lg(1x)02－－－＋∵＜－＜＜＋＋－·－＞1|lg|a∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|解法二求商比较大小|log()||log()||log()log()|aaaaxxxx1111=|log(1+x)(1－x)|=－log1+x(1－x)∵(1＋x＞1，而0＜1－x＜1)∴原式＞＋=log=loglog(1x)=1(1+x)(1+x)(1+x)11112xxx∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|例16若1＜x＜2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是______．log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2四、指对数函数的最值问题：例17新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设f(x)=log211xx+log2(x1)+log2(px)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)求函数f(x)的定义域；(2)f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）1xp(p1);(2)f(x)=log2[(x+1)(px)]=log2[(x21p)2+4)1(2p],当(p1)/21,即1p3时，f(x)无最值；当1(p1)/2p,即p3时，f(x)最大值为2log2(p+1)2,无最小值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头