整式的加减

第1页共15页整式的加减概念总汇1、整式加减的有关概念（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。如：6x2y2和-4x2y2就是同类项，－3和5也是同类项；但ba24与23ab就不是同类项，因为相同字母的指数不相同。（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。如：6x2y2＋（-4x2y2）＝2x2y2说明：①只有同类项才可合并，不是同类项的不能合并；②合并同类项，只合并系数，字母与字母的指数不变；③合并同类项后若其系数是带分数，要把它化成假分数；④多项式中，如果两同类项的系数互为相反数，合并后这两项互相抵消，结果为0。（3）去括号法则：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号。如：A+（5A+3B）—（A—2B）＝A+5A+3B-A+2B＝5A+5B。说明：去括号法则相当于乘法分配律的应用，如：A+（5A+3B）—（A—2B）＝A+1×(5A+3B)+（－1）×(A-2B)＝A+5A+3B+(-1)A+(-1)×(-2B)＝A+5A+3B-A+2B=5A+5B。如果括号前面有数字因数，就按乘法分配律去括号。如：21（3a2-2ab+4b2）-2(43a2-ab-3b2)=23a2-ab+2b2-23a2+2ab+6b2=ab+8b2（4）添括号法则：给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号。说明：去括号与添括号是互逆的过程，它们的依据是乘法分配律的顺逆运用。可把+（a-b）看作（+1）（a-b），把-（a-b）看作（-1）（a-b）则有+（a-b）=a-b，-（a-b）=-a+b，这样乘法分配律的一个应用便是去括号；添括号可理解为乘法分配律的逆用。2、整式加减法法则几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是：①如果遇到括号，按去括号法则去括号；②合并同类项.。第2页共15页说明：整式的加减实际上就是去括号和合并同类项。合并同类项时，只能把同类项合为一项。如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后为0，不是同类项的不合并，但每步运算中不能漏掉，在运算中，如果遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。整式加减运算的结果书写形式的要求：①结果按照某个字母的降幂或升幂排列；②每一项的数字系数写前面；③结果不出现带分数；带分数要化成假分数；④结果不出现“÷”号，“÷”改写成分数的形式；⑤结果中不再有括号（一般情况）。方法引导1、同类项的概念及合并同类项的注意点例1已知代数式babayxyx231321与是同类项，那么a、b的值是()A.B.C.D.难度等级：A解：依题意得故选A.【知识体验】要使含字母的单项式是同类项，则必须满足两个条件：一是所含的字母相同，二是相同字母的指数也相同．这里两个单项式都含有字母x，y，因此还需满足x的指数和y的指数分别相等。【搭配练习】1、若单项式myx22和331yxn是同类项，求m、n的值2、已知324yxm与nyx272是同类项，求m-n的值例2三角形的周长为48，第一边长为3a+2b,第二边的2倍比第一边少a-2b+2,求第三边长是多少？第3页共15页难度等级：A解：48-（3a+2b）-21[(3a+2b)-(a-2b+2)]=48-3a-2b-21(2a+4b-2)=48-3a-2b-a-2b+1=49-4a-4b.答：第三边长为49-4a-4b.【知识体验】本题已知三角形的周长和一边，又已知第二边的2倍比第一边少a-2b+2,，所以可以用代数式表示第二边，用周长减去第一边的长，再减去第二边的长就得到第三边的长。运算过程用到去括号、合并同类项，其中去括号就是乘法分配律的应用。【解题技巧】在运算中，遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。要注意是同类项才能合并成一项，不是同类项不能合并，就照抄下来即可。【搭配练习】已知一个三角形的周长为235ba，第一条边长为2ba，第二条边比第一条的2倍还少2，试求第三条边2、求代数式值要注意的问题（1）化简求值法例3．若61x，求代数式)5423(10)753(7)6543(223223xxxxxxxx的值？难度等级：B解：)5423(10)753(7)6543(223.223xxxxxxxx5040203049352112108623223xxxxxxxx13592423xxx当61x时，原式36251313)61(5)61(9)61(2423【知识体验】求代数式的值的常用方法是先化简再把字母的值代入化简式求值。本题61x是个分数，代数式又比较繁琐，如果直接代入计算，运算量很大而且易错，所以要先化简再代入求值。这种求代数值值的方法叫“化简求值法”。第4页共15页【解题技巧】先化简再代值是求代数式值的一般方法。化简时用乘法分配律去括号，要注意括号外面的因数要与括号内的每一项相乘，不要只与首项相乘，忘了与其它项相乘。【搭配练习】先化简，再求值。1、1312833232xxxxx，其中x=22、222232924yxyxyxyx，其中x=2，y=1.（2）整体代入法例4若4baba，求代数式)(2)(5babababa的值？难度等级：B解：当4baba时，41baba，所以8719412145)(2)(5babababa【知识体验】本例题中并没直接给出a，b的值，观察到babababa与互为倒数，可把babababa,分别看作一个“整体”，将“整体”的值直接代入求值式，这样就可以避免求其中字母的值，简化了求值过程。这种求代数式值的方法叫整体代入法。【解题技巧】求代数式的值，一般用化简求值法，只有当所给的题目有一定的特殊性，我们观察到含未知数的部分可以看成一个整体时，我们用整体代入法，这样会使运算简便，问题得解。【搭配练习】1、当21,43ba时，求)23(2)2(3)23(3)2(522babababa的值。2、已知5,3,2dccbba，求)())((dadbca的值例题讲解(一）题型分类全析1、整式加减类型题第5页共15页整式包括单项式和多项式，因此，整式的加减就包括单项式与单项式、单项式与多项式及多项式与多项式的加减.。求两个多项式的和或差时，要把每个多项式应作为一个整体，用括号括起来，再进行加或减，然后去掉括号，合并同类项，化简。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算中，有括号要先去括号.去括号时一定要注意括号前的符号，如（x2+x）-(1-3x+2x2)=x2+x-1+3x-2x2=-x2+4x-1,要特别注意括号前是负号的时候，不要只对括号中的首项变号，其他项也要变号。例1：求5632xx与6742xx的和与差。难度等级：A【思维直现】本题有两问，一问是求两个多项式的和，一问是求两个多项式的差，就和时将两个多项式相加即可，求差时要把每个多项式看成一个整体，加括号相减，然后去括号合并同类项。解：（1）5632xx与6742xx的和：)674()563(22xxxx67456322xxxx)65()76()43(2xx172xx（2）5632xx与6742xx的差：)674()563(22xxxx67456322xxxx)65()76()43(2xx11132xx【阅读笔记】审题要清晰，本题有两问，不要漏掉一问。求差将两个多项式相减时要给多项式加括号，然后再去括号，括号前是负号，去括号时，每一项都要变号，不要只变首项，其余项不变。第6页共15页【题评解说】本题是多项式的加减法的常规题，解题时要注意把每个多项式看成一个整体加括号，然后再相加减。后面去括号、合并同类项要要一步一步的算，不要着急不写步骤出错。【建议】去括号时一定要看清括号前是正号还是负号，按去括号法则运算，遇到括号前是负号，一定要注意去掉括号后，括号中的每一项都要变号。【搭配练习】1、求多项式2x-3y与5x+4y的和．2、求多项式8a-7b与4a-5b的差例2：.已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=0,问C是什么样的多项式.难度等级：B【思维直现】已知A+B+C=0,还知道A和B的多项式，求C表示什么多项式，这里C就是(A+B)的相反数，所以求A+B,再取相反数就可以了。解:∵A+B+C=0∴C=-(A+B)又∵A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2∴C=-[(a2+b2-c2)+(-4a2+2b2+3c2)]=-[a2+b2-c2-4a2+2b2+3c2]=-[-3a2+3b2+2c2]=3a2-3b2-2c2∴C是3a2-3b2-2c2【阅读笔记】已知多项式的和及其中几个加数，求另一个加数的问题，用减法解决，即用和减去每一个加数。实质就是多项式的减法，要分清被减数和减数，去括号时要注意去括号法则。【题评解说】本题虽然考的也是多项式的加减法，但问法不同，要学生自己思考出多项式之间的运算关系，然后计算。在进行运算时要注意把每个多项式当作一个整体，这是整体思想；要把A用a2+b2-c2代替，这是换元的思想，本题用到的数学思想要仔细体会。【建议】把多项式作为整体代换时，特别应注意各项符号的变化.【搭配练习】已知多项式2222zyxA，222234zyxB且A+B+C=0，则C为（）（A）2225zyx（B）22253zyx第7页共15页（C）22233zyx（D）22253zyx例3已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红年龄的21还多1岁，求这三名同学的年龄之和是多少？难度等级：B【思维直现】已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，可以用含m的代数式表示小红的年龄；小华的年龄比小红年龄的21还多1岁，可以用含m的代数式表示小华的年龄，这样三个人的年龄和就是三个多项式的和。解：m+(2m-4)+[21(2m-4)+1]=m+2m-4+m-2+1=4m-5答：这三名同学的年龄之和是（4m-5）岁.【阅读笔记】要用含m的代数式把小红、小华的年龄都表示出来，才能求三个人的年龄和。审题时要注意，小红的年龄与小明的有关，小华的年龄与小红的有关，所以要先用代数式表示小红的年龄，再用代数式表示小明的年龄，然后求三个代数式的和。【题评解说】本题用到了多项式求和的知识，但要先理解题意列代数式，所以考了两个知识点，有一点的综合性。很多学生难在列代数式上，由于审题不仔细列错了代数式，以为小华的年龄也是与小明有关。【建议】列式要体现问题的实际意义，然后进行化简.结果4m-5要加括号，再写单位。【搭配练习】某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克2、求代数式值的题型例4已知：|x+2|+(y+1)2=0，求33)2(2)2(3yxyx的值。难度等级：B【思维直现】求代数式值的题目一般先化简再求值，需要知道字母的值。本题没有给出字母的值，需要先求出字母的值。第8页共15页解：∵0)1(|2|2yx∴x+2=0，y+1=0∴x=-2，y=-1当x=-2，y=-1时，原式33)]1()2(2[2)]1(22[333]14[2]22[3)27(254【阅读笔记】