对数与对数函数专题

1对数与对数函数专题1.对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.21.换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba；(2)logambn＝nmlogab.其中a0，且a≠1，b0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()【教材衍化】2.(必修1P73T3改编)已知a＝132，b＝log213，c＝log1213，则()A.abcB.acbC.cbaD.cab3.(必修1P74A7改编)函数y＝log23(2x－1)的定义域是________.4.计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A.0B.2C.4D.65.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()3A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1，c1D.0a1，0c16.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.【考点聚焦】考点一对数的运算【例1】(1)计算：lg14－lg25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝________.【规律方法】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】(1)若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于()A.1B.0或18C.18D.log23(2)(2019·成都七中检测)已知ab1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是()4(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1)B.(1，2)C.(1，2]D.0，12【规律方法】1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】(1)(2018·湛江模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A.0a－1b1B.0ba－11C.0b－1a1D.0a－1b－11(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝2x，x1，log2x，x≥1，若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.考点三对数函数的性质及应用多维探究角度1对数函数的性质【例3－1】已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称角度2比较大小或解简单的不等式【例3－2】(1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab(2)若loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是()A.(0，1)B.0，12C.12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)5角度3对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【规律方法】1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】(1)若ab0，0c1，则()A.logaclogbcB.logcalogcbC.acbcD.cacb(2)若函数f(x)＝logax2＋32x(a0，a≠1)在区间12，＋∞内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为________.【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1与a1两种情况讨论.2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，6且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f(x)＝2x，x≥4，f(x＋1)，x4，则f(2＋log23)的值为()A.24B.16C.12D.82.(2018·天津卷)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab3.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a0，且a≠1)的图象大致为()4.(2019·宁波二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则()A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数5.(2019·临汾三模)已知函数f(x)＝|lnx|，若f(m)＝f(n)(mn0)，则2m＋1＋2n＋1＝()A.12B.1C.2D.4二、填空题6.lg52＋2lg2－12－1＝________.77.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是________.8.(2019·潍坊调研)已知函数f(x)＝－log2（3－x），x2，2x－2－1，x≥2，若f(2－a)＝1，则f(a)＝________.三、解答题9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，32上的最大值.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x0时，f(x)＝log12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)－2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是()12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()8A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x5z13.(2019·衡水中学检测)已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.14.已知函数f(x)＝lnx＋1x－1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝lnx＋1x－1lnm（x－1）（7－x）恒成立，求实数m的取值范围.答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()9(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×【解析】(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错.【教材衍化】2.(必修1P73T3改编)已知a＝132，b＝log213，c＝log1213，则()A.abcB.acbC.cbaD.cab【答案】D【解析】∵0a1，b0，c＝log1213＝log231.∴cab.3.(必修1P74A7改编)函数y＝log23(2x－1)的定义域是________.【答案】12，1【解析】由log23(2x－1)≥0，得02x－1≤1.∴12x≤1.∴函数y＝log23(2x－1)的定义域是12，1.【真题体验】4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2l