西南交大矩阵分析考试题型总结(复习备考必备-轻松拿下90分)

2013-2014考试题型：1、线性空间的定义及判别2、矩阵函数,sin,cosAeAA的计算3、函数矩阵的微分、积分的计算4、矩阵四种范数的定义、计算5、Hamite-Caylay定理0fxEAfA可用于解逆矩阵6、V上两组基之间的过渡矩阵计算7、线性空间，线性变换在基下的矩阵的计算8、向量在基下的坐标（就是求解线性方程组）9、约当标准型的计算（P的计算）10、Smith标准型的计算11、schmit正交化方法（化成标准正交基）12、最小二乘解Ax=b（TTAAxAb）2014-2015考试题型：一、判断：1线性空间的判定2矩阵级数的敛散性二、计算：1、最小二乘法解方程组2、标准正交基的判定3、矩阵的约当标准型4、变换称为线性变换的证明（项、和、维数）5、smith标准型6、矩阵函数（含参数t的矩阵函数）7、矩阵范数的计算8、矩阵特征值的分布范围9、A的计算10、标准正交基之间的性质定理证明自我补充题型：11、求过渡矩阵12、求向量在一组基下的坐标13、求约当标准型用的P题型总结：参考书目《矩阵分析引论（第五版）——罗家洪》【1】线性空间的判定：是否满足加法、数乘封闭。满足8条规则：（1）加法交换（2）加法结合（3）零元素（4）负元素（5）数1乘等于本身（6）数乘交换（7）数乘结合（8）数乘分配12-13考题一集合31111,,222,23333SxxRAxbAb是否为线性空间解：设33,,y,,,xRxSRySAxbAyb，所以2,0Axybbb，不满足加法封闭，所以不是线性空间。【2】矩阵级数的敛散性1、矩阵收敛的一个充分条件：1A。矩阵收敛的定义：ijkijkkkaaAA)(limlim2、矩阵级数定义：kkkAAAA211矩阵级数的部分和为：NNkkNAAAAS211矩阵级数的收敛性：如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即ASNNlim，则称矩阵级数收敛于A，记做.1AAkk矩阵级数收敛的等价定义：矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。即设)(),()(ijkijkaAaA则ijkijkkkaaAA)(11矩阵级数收敛的性质：若矩阵级数1kkA收敛，则lim0kkA绝对收敛：如果矩阵级数相应的每个数项级数是绝对收敛的，则称该矩阵级数是绝对收敛的。3、方阵幂级数定义：CaCAAaAaAaIaAaknnkkkkk,22101矩阵复幂级数收敛定理：若复幂级数1kkkaA的收敛半径为R，而方阵nnAC的谱半径为A，则：（1）当AR时，方阵幂级数1kkkaA绝对收敛；（2）当AR时，方阵幂级数1kkkaA发散。其中R由式11limkkkaaR得。【3】最小二乘法解方程组TTAAXABP32例2-9用最小二乘法解方程组121312312312021xxxxxxxxxx解：由于110101111121A，111110120111TA，1201B所以123441246111133TTxAAXxABx于是求得最小二乘解为12317134,,666xxx【4】标准正交基的判定定义：内积空间中，两两正交的一组非零向量，称为正交组。正交组是线性无关的。在n维欧式空间中，由正交组构成的基称为正交基；如果正交基中每个向量的长度都等于单位长度，则此正交基便称为标准正交基。（或称单位正交基）1、标准正交基的判定P466方法：验证0,,1,ijijaaij2、求标准正交基：先求得基础解系（即空间的一个基），再将其正交化，单位化即所求的标准正交基。基础解系的求法：我们只要找到齐次线性方程组的各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。施密特正交化112211nnnnlll，,,1,2,,1,niiiilin例求数域K上的齐次线性方程组12451234123451234530,20,426340,242470.xxxxxxxxxxxxxxxxxx的一个基础解系。解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：1103111031112100222142634000312424700000于是()3rA，基础解系中有()532nrA个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组124523454530222030xxxxxxxxxx移项，得12452435453,222,3.xxxxxxxxxx（1）、取351,0xx，得一个解向量1(1,1,1,0,0)；（2）、取350,1xx，得另一解向量2751(,,0,,1)663.12,即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为),(212211Kkkkk.解毕。P467求齐次线性方程组1234512352300xxxxxxxxx的解空间（作为5R的子空间）的一个标准正交基。解：用初等变换把系数矩阵化为行阶梯形：【P26例2-5】【5】矩阵的约当标准型将EA化成对角阵，得出初级因子，将特征值作为对角元素，写出约当标准型。P55【6】变换称为线性变换的证明（项、和、维数）定义：保持向量加法、数量乘法的变换。TTT，TkkT说明：线性变换就是保持线性组合的对应的变换。典型线性变换：【7】Smith标准型。注意做行列式变换，不能除带整式多项式，可以乘。方法一：用初等行变换。用于复杂形式的矩阵，即元素比较多，非零子式比较多时，因为3×3的矩阵的2级子式就有9个了，根本算不过来。技巧，先把边角都消成0，再在子式里做行列调换，把次数小的换到左上角。方法二：用行列式因子、不变因子。用于简单形式的矩阵，特别是对角阵时。12-13考题六求多项式矩阵：1200000210000011000001000001G的史密斯标准型解：由题知：121DD非零3级子式有：122111，12211，12111，21111，1211，2111，1111所以3级行列式因子31D。（当然这样写很麻烦，可以写成如下形式：）所以3级行列式因子：3121,12,21,11D=1（根据课本P52例题，这种运算的意义是取括号内各多项式元素的公因式）4级行列式因子4121D5级行列式因子2225121D所以不变因子：123ddd443121DdD554121DdD所以史密斯标准型为：123451000000000100000000010000000001210000000001210000ddGddd【8】矩阵函数的计算（含参数t）1、矩阵的微分与积分：将矩阵内函数分别微积分。注意积分常数项不能相同。12-13考题七设：5ln1arctantteAttt，求：21,,dAtAtdtAtdtdt。解：521511121tedAttdAtdttt512322341ln5211arctanln132ttttCeCAtdttCtttC1052112ln215212arctan2arctan1ln5ln232eeAtdt矩阵分析模拟题七设22120200tttteteAteet，求10,,dAtAtdtAtdtdt解：2221040200ttttetedAteedt212324562789112tttteCteCtCAtdteCeCCtCCC2112011112110100eAtdtee2、求,,sin,costAAteeAA3、求微分方程组的解【9】矩阵范数的计算向量范数：11111max1iinniinppipiaxaxaxp矩阵范数：122,1maxHnHijFijAAAAAAatrAA【10】矩阵特征值的分布范围特征值的界的估计：P12822HijjiijijnnaaAABbb22HijjiijijnnaaAACcc22111nnnkijkija1,maxkijijnna;1,1,Remaxlmmaxkijijnkijijnnbnc1,1lmmax2kijijnnnc圆盘定理：P129tttzaR【11】A的计算A行满秩：1HHAAAAA列满秩：1HHAAAA12-13考题九求下列矩阵的M-P广义逆矩阵最大列模和最大行模和【12】标准正交基之间的性质定理证明【13】求A到B的过渡矩阵C：根据定义B=AC，所以1CAB，解可得。P5例1-5设线性空间3R中有向量：1231,0,0,1,1,0,1,1,1，1231,2,3,2,3,1,3,1,2.（1）求a,b,c在基1，2，3下的坐标；（2）求从基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵。解：（1）由线性代数可知，在基1，2，3下的坐标即为线性方程组123,,TTTT的解。因为123111,,011001TTTTabc100010001abbcc，故在基1，2，3下的坐标为ab,bc,c；（2）由过渡矩阵定义知，过渡矩阵的第j列元素为j在基1，2，3下的坐标。行变换因123123111123100112,,,,011231010121001312001312TTTTTT