季节时间序列模型

第三章季节时间序列模型3.1季节时间序列模型的建立3.2季节时间序列模型的识别3.3季节时间序列模型的估计、检验与预测3.4案例分析02004006008001000787980818283848586878889Y0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11808284868890929496980002GDP北京市社会商品零售额月度数据香港GDP季度数据我们在分析问题的时候何时应选取季度或者月度数据呢？季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等时间序列中往往存在着明显的周期性变化，这种周期往往是由于季节性变化引起的，因此这种序列又称为季节性时间序列。这种序列怎么建立模型？•seasonalARIMAmodel,SARIMA•multiplicativeseasonalmodel•1、季节差分：消除季节单位根假设季节性序列的变化周期为s，存在季节单位根即yt=yt–s+ut，则季节差分为yt-yt–s.季节差分算子定义为，s=1-Ls则对yt进行一次季节差分表示为syt=(1-Ls)yt=yt-yt-s若非平稳季节性时间序列存在D个季节单位根，则需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳序列。即sDyt3.1季节时间序列模型的建立与一般时间序列模型对照来学习•2、季节自回归算子与移动平均算子：描述季节相关性类比一般的时间序列模型，序列xt=sDyt中含有季节自相关和移动平均成份意味着，即sDyt可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型。P(Ls)sDyt=Q(Ls)ut其中P(Ls)=(1-1Ls-2L2s-PLPs)称为季节自回归算子;Q(Ls)=(1+1Ls+2L2s+QLPs)称为季节移动平均算子1221221ttstsPtPsttststQsxxxxuuuu•3、季节时间序列模型的一般形式：乘积季节模型当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为p(L)dut=q(L)vt其中vt为白噪声过程，p,q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示ut的一阶（非季节）差分次数。由上式得ut=p-1(L)-dq(L)vt代入P(Ls)sDyt=Q(Ls)ut得到p(L)P(Ls)(dsDyt)=q(L)Q(Ls)vt其中下标P,Q,p,q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d,D分别表示非季节和季节性差分次数。上式称作(p,d,q)(P,D,Q)s阶季节时间序列模型或乘积季节模型。当协方差平稳序列dsDyt含有均值μ等确定性成分时（通常如此），上述模型表示为，p(L)P(Ls)(dsDyt-μ)=q(L)Q(Ls)vt保证（dsDyt）具有平稳性的条件是p(L)P(Ls)=0的所有根在单位圆外；保证（dsDyt）具有可逆性的条件是q(L)Q(Ls)=0的所有根在单位圆外。当P=D=Q=0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当P=D=Q=p=q=d=0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。例如，(1,1,1)(1,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为(1-1L)(1-1L12)12yt=(1+1L)(1+1L12)vt则12yt具有平稳性的条件是11，11，12yt具有可逆性的条件是11，11。3.2季节时间序列模型的识别1、首先要确定d,D。存在一般单位根时相应相关图的呈缓慢线性衰减。存在季节单位根的特征是相应的相关图中s整数倍时点上的值呈缓慢衰减。3.2季节时间序列模型的识别2、如果相关图和偏相关图在变化周期s的整倍数时点上出现峰值或衰减变化。说明存在季节自回归或移动平均成份。同p和q的识别一样，同样可以根据相关图偏相关图来识别P和Q。3、用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1，P和Q不会大于3。3.3季节时间序列模型的估计、检验与预测•乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。我们重点看一下Eviews操作。例，(1,1,1)(1,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为(1-1L)(1-1L12)12yt=(1+1L)(1+1L12)vt其中，yt=ln(Yt)，则上式的Eviews命令是，DLOG(Y,1,12)AR(1)SAR(12)MA(1)SMA(12)对序列Y进行差分或取对数的EViews命令命令数学表达式含义d(Y)(1-L)Y对Y进行一次差分d(Y,n)(1-L)nY对Y进行n次差分d(Y,n,s)(1-L)n(1-Ls)Y对Y进行n次差分和一次季节差分dlog(Y)(1-L)log(Y)对Y取自然对数后进行一次差分dlog(Y,n)(1-L)nlog(Y)对Y取自然对数后进行n次差分dlog(Y,n,s)(1-L)n(1-Ls)log(Y)对Y取自然对数后进行n次差分和一次季节差分例，(0,1,1)(0,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为12yt=(1+1L)(1+1L12)vt上式的EViews估计命令是DLOG(Y,1,12)MA(1)SMA(12)上式还可以写为，12yt=(1+1L)(1+1L12)vt=vt+1Lvt+1L12vt+11L13vt=vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13上式也可以用如下的EViews命令估计DLOG(Y,1,12)MA(1)MA(12)MA(13)上述估计命令对应的模型表达式是12yt=vt+1vt–1+12vt–12+13vt–13区别在于前者等价于约束13=11•预测：12yt=vt+1vt–1+1vt–12+11vt–1312yt=(yt–yt-12)=yt–yt-12=yt–yt-1–yt-12+yt–13在这个例子中，综合上述两式，用于预测的模型形式是yt=yt-1+yt-12–yt–13+vt+1vt–1+1vt–12+11vt–133.4案例分析1、北京市社会商品零售额月度数据（1978:1~1989:11）(file:5b2c3)02004006008001000787980818283848586878889Y4.55.05.56.06.57.0787980818283848586878889LNYLnyt的相关图和偏相关图-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889DLNY-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889D2LNYLnyt一次差分即LnytLnyt二次差分Lnyt的相关图和偏相关图-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889SDLNYLnyt一次季节差分即12Lnyt12Lnyt的相关图和偏相关图-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889DSDLNY12Lnyt均值近似为零。12Lnyt的相关图和偏相关图估计yt的(1,1,1)(1,1,0)12阶季节时间序列模型(加入SMA(12)项发现其参数不显著)EViews估计命令是DLOG(Y,1,12)AR(1)SAR(12)MA(1)(1+0.5924L)(1+0.4093L12)12Lnyt=(1+0.4734L)vt(-4.5)(-5.4)(2.9)R2=0.33,s.e.=0.146,Q36=15.5,20.05(36-2-1)=44模型平稳可逆，自回归部分有13个特征根，移动平均部分有1个特征根。但是对序列Lnyt来说，其实一共有26个自回归部分的根，因此对于Lnyt序列一共有27个特征根。试试看，有没有更好的模型？Eviews5的输出结果，Eviews6会有微小差别。模型残差的相关图、偏相关图样本内预测：选取静态预测方法12Lnyt的实际与预测序列yt的实际与预测序列1.7341.7349.789对1989年第12月份yt进行样本外1期预测，结果如图。相对预测误差是==0.0762、香港GDP季度数据（1980:1~2019:3）file:HongKong0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11808284868890929496980002GDP24.024.525.025.526.026.527.0808284868890929496980002LnGDPLnGDPt的相关图和偏相关图-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20808284868890929496980002DLOG(GDP)-0.2-0.10.00.10.2808284868890929496980002DLOG(GDP,2)LnGDPt的相关图和偏相关图LnGDPt2LnGDPt-0.10.00.10.20.3808284868890929496980002DLOG(GDP,0,4)4LnGDPt-0.2-0.10.00.10.2808284868890929496980002DLOG(GDP,1,4)4LnGDPt建立(2,1,2)(1,1,1)4模型。EViews估计命令是:DLOG(GDP,1,4)CAR(1)AR(2)SAR(4)MA(1)MA(2)SMA(4)(1-1.20L+0.66L2)(1-0.33L4)(4LnGDPt+0.0023)(14.4)(-8.8)(2.8)(-2.45)=(1-1.16L+0.97L2)(1-0.95L4)vt(-55.9)(86.1)(-32.8)R2=0.57,F=16.1,Q36=19.3,20.05(36-3-3)=43.8说明残差通过了36期的Q检验。模型平稳可逆，自回归部分有6个特征根，移动平均部分有6个特征根。但是对序列LnGDPt来说，其实一共有11个自回归部分的根，因此对于Lnyt序列一共有17个特征根。Eviews5的输出结果，Eviews6会有微小差别。样本内预测：选取静态预测方法4LnGDPt的实际与预测序列GDPt的实际与预测序列1111111035.31035.31033.3对2019年第4季度GDPt进行样本外1期预测，结果如下：相对预测误差是==0.006