当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > (完整版)常用连续型分布性质汇总及其关系
常用连续型分布性质汇总及其关系1.常用分布1.1正态分布(1)若X的密度函数和分布函数分别为2222221(),.21,.2xtxpxexFxedtx则称X服从正态分布,记作2~,,XN,其中参数,0.(2)背景:一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果,则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的,所以测量误差常认为服从正态分布。(3)关于参数,:是正态分布的的数学期望,即EX,称为正态分布的位置参数。为正态分布的对称中心,在的左侧和()px下的面积为0.5;在的右侧和()px下的面积也是0.5,所以也是正态分布的中位数。2是正态分布的方差,即2().VarX是正态分布的标准差,愈小,正态分布愈集中,愈大,正态分布愈分散。又称为是正态分布的的尺度参数。(4)称0,1时的正态分布(0,1)N为标准正态分布。记U为标准正态分布变量,u和u为标准正态分布的密度函数和分布函数。u和u满足:;1.uuuu(5)标准化变换:若2~,,XN则~0,1.XUN(6)若2~,,XN则对任意实数a与b,有()(),()1(),()()(),bPXbaPaXbaPaXb0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973,3.kPXkkkkk(7)特征函数22()exp{}.2ttit(标准正态分布2()exp{}2tt)1.2.均匀分布(1)若X的密度函数和分布函数分别为1().0axbPxbaelse0,,(),.1,.xaxaFxaxbbaxb则称X服从区间(,)ab上的均匀分布,记作~,.XUab(2)背景:向区间(,)ab随机投点,落点坐标X一定服从均匀分布,.Uab(3)2(),().212baabEXVarX(4)特征函数().()itbitaeetbait1.3.指数分布(1)若X的密度函数和分布函数分别为,0,()0,.xexPxelse1,0,().0,.xexFxelse则称X服从指数分布,记作~,XExp其中参数0.(2)背景:若一个元器件(或一台设备、或一个系统)遇到外来冲击时即告失败,则首次冲击到来的时间X(寿命)服从指数分布,很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。(3)211(),().EXVarX(4)指数分布的无记忆性:若~,XExp则对任意0,0,st有(|)().PXstXsPXt(5)特征函数1()1.itt1.4伽玛分布(1)伽玛函数称10()xxedx为伽玛函数,其中参数0.伽玛分布具有如下性质:(a)(1)1;(b)1();2(c)(1)();(d)(1)()!nnnn(n为自然数)。(2)伽玛分布若X的密度函数为1,0,().()0xxexpxelse则称X服从伽玛分布,记作~(,),XGa其中0.为形状参数,0为尺度参数。(3)背景:若一个元器件(或一台设备、或一个系统)能抵挡一些外来冲击,但遇到第k次冲击时即告失败,则第k次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽玛分布~(,).XGak(4)2(),().EXVarX(5)特征函数()1.itt1.5贝塔分布(1)贝塔函数称1110(,)(1)baBabxxdx为贝塔函数,其中参数0,a0.b贝塔函数具有如下性质:(a),(,);BabBba(b)()(),.()abBabab(2)贝塔分布若X的密度函数为11()(1),01,()()().0ababxxxbpxelse则称X服从贝塔分布,记作~(,),XBeab其中0,a0.b都是形状参数。(3)背景很多比率,如产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率等都是在区间(0,1)上取值的随机变量,贝塔分布(,)Beab可供描述这些随机变量之用。(4)2(),.()(1)aabEXDXababab(5)特征函数0()()()().()()()(1)jjabajittababjj1.6Z分布(1)若X的密度函数为1()()0.()()1aababxPxxabx则称X服从Z分布,记作~(,),ZZab其中0,a0.b都是形状参数。(2)2(1)(),1,(),2.1(1)(2)aaabEXbVarXbbbb(3)若~(,),XZab则1~(,).XZba2.分布之间的关系2.1由标准正态分布构造2-分布设1,...nxx和1,...nyy是来自标准正态分布的两个相互独立的样本,(1)221niix服从自由度为n的卡方分布,记为22~()n。其分布密度为12221()(0).()22nynpyyeyn(2)期望方差分别为222.EnVarn(3)特征函数为2()(12).ntit2.2由标准正态分布和卡方分布构造t分布(1)1221()nytxxn服从自由度为n的t分布,记为~().ttn其分布密度为12212()(1)().()2nnypyynnn(2)期望方差分别0(1)(2).2nEtnVartnn(3)特征函数2.3由两个卡方分布构造F分布(1)221221/()mnyymFxxn服从第一自由度为m,第二自由度n为的F分布,记为~(,).FFmn其分布密度为21222()(1)().()()22mmmnmnmmnpyyyymnn(2)期望方差分别222(2)(2)(4).2(2)(4)nnmnEFnVarFnnmnn(3)特征函数为(4)若~(,),FFmn则1~(,).FFnm(5)若~(),ttn则2~(1,).tFn2.4伽玛分布,贝塔分布及其特例(1)1时的伽玛分布就是指数分布,即(1,)().GaExp(2)2,12n时的伽玛分布为自由度为n的2分布,即21(,)().22nGan(3)1ab时的贝塔分布就是区间(0,1)上的均匀分布,即(1,1)(0,1).BeU(4)12,,nxxx独立同分布于0,1U,(1)(2)(),,nxxx为其顺序统计量,则有()~(,1),1,2,.kxBeknkkn特别地,(1)()~(1,),~(,1).nxBenxBen()()~(,1),1,2,.ksxxBeksnksksn特别地()(1)~(1,2).nxxBen(5)若随机变量~(,),XGa则当0k时,有~(,).YkXGak特别地,22~(,12)2.XGa即任一伽玛分布可转化为2分布。(6)若~(,)XBeab,则1~(,).XBeba(7)若1122~(,),~(,)XGaXGa且12,XX与相互独立,则1212~(,);XXGa11212~(,).XBeXX(8)Z分布与贝塔分布,F分布的关系若~(,),XBeab则(1)~(,);YXXZab若~(,),XZab则(1)~(,).YXXBeab若12~(2,2),XZnn则2121~(,).nYXFnnn
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