最短路径问题与勾股定理

最短路径问题与勾股定理1.平面最短问题2.空间最短问题如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABlB′P牧马人饮马问题-轴对称变换PA+PB的最小值就是AB′造桥选址问题-平移变换如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAA1MNA→M→N→B最短路径的长度为河宽+A1BC如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。APBA′DE1241145找到“关键点”→建模→解决问题变1正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为多少。如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线l1、l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥.(1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直).(2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长.(单位:米)平面内最短路径长度计算问题：1.轴对称（平移）变换→两点之间，线段最短；2.建模：找点→连线→构图；3.解决问题：利用勾股定理计算。AB我怎么走会最近呢?如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3）CDACBAB解:如上图，在Rt△ABC中,BC＝πr＝9cm，∴AB＝＝＝15（cm）（勾股定理）．答：最短路程约为15cm．2212922BCACC展开→→建模→解决问题空间内最短路径长度计算问题：1.空间图形→展开→平面图形2.建模：找“点”→连“线”→构图；3.解决问题：利用勾股定理计算。变1：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变2：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米）变3：如图，圆柱底面半径为2cm,高为9π，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm.ABAB129变3：如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少?如图，有一个长方体的长、宽、高分别是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短路程是多少?AB321分析：有3种情况,六条路线。(1)经过前面和上底面;(或经过后面和下底面)(2)经过前面和右面;(或经过左面和后面)(3)经过左面和上底面.(或经过下底面和右面)AB23AB1C321BCA321BCA321第一种情况：前面+上面：长为3，宽为3的长方形所走最短路程为解：第二种情况：前面+右面：长为5，宽为1的长方形所走最短路程为第三种情况：前面+右面：长为4，宽为2的长方形所走最短路程为比较这三种情况，第一种情况所走路程最短。答：最短路程为22333222512622422532变1如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？1020BAC155BAC1551020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105变2：如图棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点需要的最短路程又是多少呢？变3：如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm的金鱼缸，如果鱼缸中的A点有一条金鱼,它想尽快吃到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？ABABCD变4：如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为．PQ2cm2cm4cm4cm5cm变5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2032AB２０２32323ＡＢＣAB=25小结：1.平面最短问题：轴对称或平移变换→勾股定理2.空间最短问题：展开→平面问题→勾股定理。