三角函数的诱导公式(公开课)

.1.3三角函数的诱导公式.学习目标:（1）理解识记诱导公式（二、三、四）；（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值；（3）会进行简单三角函数式的化简和证明。三角函数的诱导公式（第一课时）.任意角三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）正弦sinα＝（2）余弦cosα＝（3）正切tanα＝)0(xxyyx一.复习回顾xyOP(x,y)公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等sin(2)sincos(2)costan(2)tan()kkkkZ作用：可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π角的三角函数值。.练习：利用定义和公式一求下列角的三个三角函数值：30-)4(2103750)2(30)1(）（观察所画的图并思考：①（１）与（２）的角的终边有什么关系？②（１）与（３）的角的终边有什么关系？③（１）与（４）的角的终边有什么关系？30180302360.问题探究1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?2.角-α与α的终边有何位置关系?它们的三个三角函数之间有什么关系？４.角π-α与α的终边有何位置关系?它们的三个三角函数之间有什么关系？３.角π+α与α的终边有何位置关系?它们的三个三角函数之间有什么关系？相等.+αyαxOP(x,y)πP(-x,-y)公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα探究1：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？sinycosxtanyxsin()ycos()xtan()yyxx.sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三yαxOP(x,y)-αP(x,-y)探究２：角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？sinycosxtanyxsin()ycos()xtan()yyxx.练习将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上131cos______;2sin1______;93sin______;4cos706______.54cos9sin1sin5670cos.由上面两组公式的推导方法，你能同理推导出角与的三角函数值之间的关系吗？tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)(tancos)cos(sin)sin(探究3yαxOP(x,y)P(-x,y)απ-αsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式四公式二公式三.公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三sin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式四α+k·2π(k∈Z),－α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.例1.利用公式求下列三角函数值:11161cos225;2sin;3sin;4cos2040.3321cos225cos18045cos4521132sinsin4sin3332161633sinsinsin5sin333322160cos)60180cos(120cos)120cos()1203606cos(2040cos)2040cos()4(.利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数用公式三或一锐角三角函数用公式二或四0～2π的角的三角函数用公式一这是一种化归与转化的数学思想步骤：负化正大化小化到锐角是终了.练习利用公式求下列三角函数值:1cos42072sin63sin1300794cos61cos60cos60251sinsin66253coscos6626428.040sin140sin.例2化简cos180sin360.sin180cos180.练习31sin180cossin1802sincos2tan化简.小结：•（1）探究三角函数诱导公式的推导过程，理解“函数名不变，符号看象限”。•（2）熟悉将任意角的三角函数转化到锐角三角函数的过程。•（3）熟练掌握三角函数的诱导公式。.1.3三角函数的诱导公式第二课时.问题提出1.诱导公式一、二、三、四分别反映了2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、π－α与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是什么？函数同名，象限定号.对形如π－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如、的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系？这需要我们作进一步的探究！22.(3)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?yαxOy=xP(x,y)2P(y,x)sincos,2cossin.2公式五.22sincos,2cossin.2公式六由公式四和公式五得.sincos,2cossin.2公式五sincos,2cossin.2公式六2的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式一～公式六叫到诱导公式.例3证明:31sinsin2231sincos;232cossin2.sin2sin2cos.32coscos22cos2sin例3证明:31sincos;232cossin2..例4化简11sin2coscoscos22.9cossin3sinsin2sincossincos52=cossinsinsin42原式2sincoscos2=cossinsinsin2sin=tancos.填表:4354537483114322232223222122212221222313131P28练习4.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:_____________________________________________31tan=2tan10021__________;5313tan4tan32432_________;362tan5tan79395tan36tan3528P28练习5.化简cos21sin2cos2;5sin2cos21=sincossin2原式sin=sincoscos2=sin.2tan3602cos.sin化简2tan=cossin原式21=coscos31cos=cosP28练习7.sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanαsincos,2cossin.2sincos,2cossin.2小结三角函数的诱导公式.作业课本习题1.3A组2,3