专题--三大常考相似模型

专题三大常考相似模型微专题三大常考相似模型模型一A字型有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．(ⅰ)正A字型图①【结论】如图①，由DE∥BC得，△ADE∽△ABC，ADAEDEABACBC(ⅱ)反A共角型图②图③【结论】如图②，当∠AED＝∠B(或∠ADE＝∠C)时，△ADE∽△ACB，ADAEDEACABCB如图③，∠C＝∠ADE＝90°，则△ADE∽△ACB，.ADAEDEACABCB(ⅲ)反A共边共角型图④(双垂直型(影射型))图⑤【结论】如图④，当∠ACD＝∠B(或∠ADC＝∠ACB)时，△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；如图⑤，CD⊥AB，AC⊥BC，则△CAD∽△BCD，CD2＝AD·BD；△CDA∽△BCA，AC2＝AD·AB；△BCD∽△BAC，BC2＝BD·BA.1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC.若AD＝1，BD＝2，则的值为()DEBCA.B.C.D.第1题图12131419B2.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为()第2题图A.1B.2C.3D.4C3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB于点D.(1)求证：△ACB∽△ADE；(2)求AD的长度．(1)证明：∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠EDA＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADE；∴，∴AD＝4.5108AD模型二8字型有一组已知的等角(对顶角)，此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．(ⅰ)正8字型图①【结论】如图①，由AB∥CD得，△ABO∽△DCO，.ABAOBODCDOCO(ⅱ)斜8字型(蝴蝶型)图②【结论】如图②，当∠A＝∠C(或∠B＝∠D)时，△ABO∽△CDO，.ABAOBOCDCODO(ⅲ)燕尾型图③【结论】如图③，当∠A＝∠C(或∠ABF＝∠CDF)时，△ADE∽△CBE，；△ABF∽△CDF，.ADAECBCE=DEBEABAFBFCDCFDF∴.(ⅳ)三平行型图④【结论】如图④，由AB∥EF∥DC得，△AFB∽△CFD，；△CEF∽△CBA，；△BEF∽△BCD，.AFBFABCFDFCDEFCFCEBACACB111EFBFBECDBDBCABCDEF，注意：∵，1EFEFCEBECEBEBCBACDBCBCBCBC+111ABCDEF4.如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若＝2，则的值为________．AFDFHFBG712第4题图(1)证明：∵在四边形ABDE中，∠ABD＋∠AED＝180°，∴∠BAE＋∠BDE＝180°，∴点A、B、D、E四点共圆，∴∠DAE＝∠DBE.又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC；5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于点E.(1)求证：△ADC∽△BEC；(2)若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．第5题图(2)解：∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝.∵D为BC的中点，∴BD＝DC＝.在Rt△ABD中，AD＝.在Rt△CDE中，∵∠C＝30°，CD＝，∴CE＝3.∵△ADC∽△BEC，∴，即，解得BE＝.∴BE的长为.43232227ABBD23ADDCBEEC27233BE2121模型三一线三等角型两个相等的角的一边在同一条直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，则此时直线同侧或异侧的两三角形相似．(1)点P在线段AB上(同侧型)锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角(ⅰ)(2)点P在线段AB的延长线上(异侧型)锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角(ⅱ)以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中∠1＝∠2＝∠3，则图中两阴影部分三角形相似．拓展：一线三垂直常存在的图形背景6.如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.若AB＝12，AE＝3，CF＝4，则CG的长为________．7.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC延长线上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F.若CE＝2，则DF的长为________．32938.如图，点E是AB的中点，AC＝5，BD＝2，若∠A＝∠CED＝∠B，则AB的长是________．第8题图210