上海交通大学2016计算方法期末复习提纲

复习第一章绪论及误差估计•误差的来源、分类（★）•误差的估计（★）•绝对误差、绝对误差限•相对误差、相对误差限•有效数字•和、差、积、商的误差•数值计算（近似计算）的基本原则（★）第2章非线性方程求根•非线性方程求根的基本步骤（★）•判断根存在性•有根区间的隔离•根的精确化•二分法求根•基本原理•误差估计•简单迭代法•迭代原理•迭代格式的收敛性判断•收敛速度的度量•Newton迭代法•原理•算法步骤（★）•收敛的阶•手工计算（★）•newton迭代法的改进•重根时的改进•避免求一阶导数的改进：弦截法第3章线性方程组求解•线性方程组的求解方法：（★）•直接法•迭代法•直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）•Guass顺序消元法•适用条件：•系数矩阵A是严格对角占优的矩阵•顺序阶主子式为正•算法步骤（★★★）之和同行其余元素的绝对值值的每行主对角元的绝对Aaaniijijii,|||||1•列主元Gauss消元法（★）•选主元的必要性•算法的改进•Gauss-Jordan消元法•思想、方法•Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵•三角分解法•Doolittle分解（★）•Crout分解（★）•追赶法•适用于：三对角方程组•实质：作Crout分解•改进平方根法•适用条件：对称正定矩阵•计算量减半•迭代法：•向量与矩阵的范数：（★）•向量范数：1-范数、2-范数、∞-范数•矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数•矩阵的谱半径：•ρ(A)≤||A||•若矩阵A对某个算子范数满足||A||1，则必有:I±A可逆、•矩阵的条件数：cond(A)=||A||||A-1||||max)(1iniA111||||IAA•迭代法原理及收敛条件：求解Ax=b（★）•充分条件：x=Bx+f，||B||1•充要条件：x=Bx+f，B的谱半径(B)1•Jacobi迭代：•公式：x=Jx+f（其中：J=I-D-1A，f=D-1b）•收敛的条件：（★）•充要条件：(J)1•充分条件：||J||1•Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵J）：严格对角占优•会手工计算（★）第4章插值法•插值的基本概念：•插值条件、插值点•插值多项式•插值多项式的存在、唯一性：•故Ln(x)与Nn(x)等价•Lagrang插值多项式（★）•构造•余项•线性插值、抛物插值公式及其截断误差10000nkknkknkiiikinkkk)x(ly)xx()xx((y)x(l)x(f•Newton插值•差商及其性质：（★）•对称性••Newton插值公式的构造（★）•步骤•估算某点的近似值：•],,[],,[00kiikxxfxxfniniiiiiiin)xx()xx)(xx()xx()x(f]x,,x[f01100)!()(],,[)(0nfxxfnnnk,nk,a]x,,x[f),x(P)x(fnkn00推论：若Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)•Hermit插值•基本思想•插值多项式的构造方法•Lagrange型构造法（基函数构造法）•Newton型构造法（重节点的差商）•了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分段低次插值（★）•了解三次样条插值的基本原理第5章最小二乘法与曲线拟合•最小二乘原理及正规方程组的构造（计算）（★）•多项式拟合：y=a0+a1x+…+amxm（1）•对应的正规方程组：CTCa=CTy•解之即得(1）的最小二乘解)3(.....,...,................................00200210020100201030202000niiminiiiniiiniiTmniminiminiminiminiminiiniiniiniiniminiiTyxyxyxyyCaaaaaxxxxxxxxxxxnCC•一般曲线拟合•利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（会计算）（★）•Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb第6章数值积分•基本概念：•数值积分（机械求积公式）的一般形式•求积公式的代数精度（计算、证明）•插值型求积公式：•插值求积公式的构造方法（★）•n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度•n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1次代数精度•Newton-cotes公式的构造•重点掌握：•梯形公式•Simpson公式abAk•复化积分•原理•复化梯形积分、复化Simpson积分（计算）•Romberg积分公式•是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★）•Gauss积分：•n个积分结点的Gauss求积公式可达2n-1次代数精度（★）重点例题、习题•第一章：•例：1-1、1-2、1-14、•习题：2、8、17•第二章：•例：2-3、2-5、2-15、•第三章：•例：3-29•习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法求解•第四章•习题：16题、20题•第五章：•习题：4题、7题、8题•第六章：•习题：1、2、12题•算法考查：Guass顺序消元法解线性方程组的解