分析法和综合法

1分析法和综合法一.教学内容：几何证明的分析法与综合法专题讲座二.教学目标：1.掌握证明一个命题的一般步骤。2.灵活掌握几何证明时常用的两种思考方法：分析法和综合法。3.掌握对一些较复杂的几何问题，能够采用“两头凑”的思考方法去寻求证明的途径。4.进一步培养学生的逻辑思维和推理论证的能力。三.教学重点、难点：重点：掌握几何证明的分析法和综合法及两头凑的方法。难点：寻求证明的方法和途径。四.几何证明方法指导：1.证明一个命题的一般步骤（1）按题意画出图形。（2）分清命题的题设和结论，结合图形，在已知一项中写出题设，在求证一项中写出结论。（3）探求证明途径。（4）在证明一项中写出证明过程。2.证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径，这是最困难的，也正是我们力求研究和解决的问题。3.介绍两种几何证明时常用的思考方法：（1）分析法①定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。可简单地概括为：“执果索因”。意思就是：“拿着结果去寻找原因”。②思路：举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。”用分析法思考时，其思路可如下图所示：（应从下往上看）从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立，2设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：D←C←B←A，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此显然命题得证。AB2B1BB3B4C1CC2D（2）综合法：①定义：证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。②思路：要证明定理“若A成立，则D成立”，用综合法思考时，其思路可由下图所示：从已知条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个，可能有好多个。设B、B1、B2都是A的结果，同样由B、B1、B2又可得好多结果，设由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此便可得到：A→B→C→D这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的，可如上一样，再往下寻求，直至能得出D为止。AB1BB2C2C1CC3C4D（3）分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。（4）分析法与综合法的优缺点：①证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。3②分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。③对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。4.“两头凑”的证题方法。对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头凑”即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。【典型例题】例1.已知，如下图，∠1=∠2，∠3=∠4，AB=AC求证：AE=AD1234AEDBC分析法：先用分析法来分析此题。212143)(BACBACCAEBADACABASAACEABDADAE说明：分析法是从结论开始逐步往上逆求，最后归结到已知条件上，在书写证明时，为了叙述方便，往往还要逆过来，从已知条件开始叙述，因此下面写出如下证明过程：证明：∵∠1=∠2∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中4（已证）＝（已知）＝（已知）CAEBADACAB43∴△ABD≌△ACE（ASA）∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）例2.已知梯形ABCD的腰CD上有一点E，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，则AB=AD+BC。ADBCEF分析：我们先用综合法思考此题：、证明：∵ABCD是梯形，CD是腰∴AD//BC∴∠DAB+∠ABC=180°又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠ABCABCDABABEBAE2121)(21ABCDAB59018021∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-90°=90°在BA上截取BF=BC又∵BE=BE，∠EBF=∠EBC∴△BEF≌△BEC（SAS）∴∠BEF=∠BEC（全等三角形的对应角相等）∵∠FEB+∠AEF=90°∴∠CEB+∠DEA=90°∴∠AEF=∠AED在△AFE与△ADE中（已证）＝（公共边）＝（角平分线定义）＝AEDAEFAEAEDAEFAE∴△AEF≌△AED（ASA）∴AF=AD∴AB=AF+BF=AD+BC例3.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E。求证：BD=2CE。DEACBF123分析：我们用“分析法”的方法来分析此题。先由条件“BD平分∠ABC和CE⊥BD”想到延长CE、BA相交于F，然后想到如下分析思路：6下面再用综合法写出证明过程。证明：延长CE、BA相交于F在△FBE和△CBE中（垂直的定义）＝＝（公共边）＝（角平分定义）9032BECBEFBEBE∴△FBE≌△CBE（ASA）∴CE=EF∴2CE=CF在Rt△BEF中，∠2=90°-∠F在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠1=90°-∠F∴∠1=∠2在△ABD和△ACF中9021＝＝（已知）＝（已证）CAFBADACAB∴△ABD≌△ACF∴BD=CF∴BD=2CE7例4.已知：梯形ABCD中，腰AB=DC，AC为对角线求证：AC2=AB2+AD·BCBEADCF分析：我们用“两头凑”的方法分析此题，分析过程如下：下面用综合法，写出证明过程。证明：作AE⊥BC，DF⊥BC在Rt△AEC和Rt△ABE中根据勾股定理得：222ECAEAC222BEABAE2222ECBEABAC)(222BEECAB))((2BEECBEECAB∵梯形ABCD中，AB=DC，AE⊥BC，DF⊥BC∴BF=AD，BE=CFADBEECBCBEEC，【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.如图，B、E、F、D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE求证：（1）△DFC≌△BEA（2）△AFE≌△CEF8ABCDFE2.已知△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求证：PE+PF=BH。ABCEFHP3.如图，已知：AB=AC，BE=EC求证：BD=DCAEDCB4.（1）如图甲所示，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：AE=DC，BF=BG（2）如图乙所示，如果A、B、C不在一直线上，那么这时AE=DC和BF=BG是否仍然成立？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由。9DDAABBCCEEFFGG（甲）（乙）10【试题答案】1.证明：（1）∵BF=DEEFDEEFBF即BE=DF在△DFC与△BEA中DFBEDBCDAB)(SASBEADFC（2）BEADFCAEBCFDAECF，在△AEF与△CEF中FEEFCFDAEBAECFCEFAFE2.证明：连结AP，则有APCABPABCSSSACPFABPEACAB，，PFACPEABSABC2121)(21PFPEAC又∵BH⊥ACBHACSABC21即BHACPFPEAC21)(21BHPFPE3.证明：在△ABE和△ACE中AEAEECBEACABCAEBAESSSACEABE)(11在△ABD和△ACD中ADADCADBADACABACEABDDCBD4.（1）在△ABE和△DBC中120DBCABEBCBEDBAB，，DBCABECDBEABDCAE在△ABF和△DBG中60DBGABFGDBFABDBAB，，DBGABFBGBF（2）当A、B、C三点不在一直线上时，同样可以证明△ABE≌△DBC∴仍有AE=DC但△ABF与△DBG不可能全等因此这时BF≠BG。