2019年最新-汪晓勤新课程中的数学史-精选文档

新课程中的数学史汪晓勤杭州2019年1月8日数学史专题教学设计课堂实际可操作性科学性可接受性实用性科学性课程标准教学理论必修课程学生认知研究文献原始文献设计课堂活动选择历史材料研究专题历史数学史专题教学设计过程数学史专题教学设计可接受性：数学史专题的内容应符合学生的认知水平；实用性：数学史专题的教学应与必修课相结合，或为必修课服务，或为必修课内容之拓展和深入；科学性：数学史专题的教学内容应符合史实，教学设计应符合课程标准及有关教学理论；可操作性：数学史专题的内容应为教师所易于接受，教学设计应为教师所易于操作。案例1从多边形数到棱锥数形数（figurednumbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,约2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。案例1从多边形数到棱锥数问题1（“归纳－猜想－论证”第1课时）依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测的结果，并加以证明。12311321nannn案例1从多边形数到棱锥数正方形数案例1从多边形数到棱锥数古希腊数学家Iamblichus（公元4世纪）在研究Nicomachus《算术引论》一书时发现=n2Iamblichus或许正是从正方形数的构造中发现上述结论的。12311321nannn案例1从多边形数到棱锥数问题2（2019广东数学高考题）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=______，f(n)=______。案例1从多边形数到棱锥数后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为11+31+3+61+3+6+10案例1从多边形数到棱锥数第n个三棱锥数为(1)(1)(2)13626nnnnn（Nicomachus,1世纪）案例1从多边形数到棱锥数前四个四棱锥数为11+41+4+91+4+9=16第n个四棱锥数为2(1)(21)1496nnnn案例2等比数列求和公式莱因得纸草书（约公元前1650年）124房屋猫老鼠麦穗容积总数74934324011680719607280156021120419607案例2等比数列求和公式莱因得纸草上的等比数列问题案例2等比数列求和公式12nnaqaqaqaS22naqaqaqaqa1nqSa1nnaqSqaqaqaSnn11q案例2等比数列求和公式欧几里得《几何原本》（公元前3世纪）第9卷命题35nnaaaaaa12312nnnaaaaaaaaa1223112案例2等比数列求和公式11122111qaaaaaaaann111qqaSnn1q案例3二次幂和公式巴比论：泥版数学文献(约公元前3000年)但我们无法判断古代巴比伦人是否知道一般公式。385553210311103212222案例3二次幂和公式阿基米德（Archimedes,前287-212）《论劈锥曲面体与球体》命题2引理；《论螺线》命题102222121123)1(nnnaaaaaaaan222221321)1(nnnn案例3二次幂和公式阿基米德案例3二次幂和公式123n-1nn-212n-1n-2n-3······)1(1)2(22)2(1)1(nnnnn案例3二次幂和公式2222nn)1(12)1(1)1(1222nnn)2(22)2(2)2(2222nnn………………………………………1)1(21)1(1)1(222nnn案例3二次幂和公式2222212)1(nnn1)1(2)2(22)1(12nnn)1(2)1(12nn)2(4)2(22nn)3(6)3(32nn1)1(21)1(2nn)21(1)1()2(2)1(12nnnn案例3二次幂和公式1)12()2(5)1(31nnnnnnnn)1(212)2()1(2nnn)1)(2()1()1(2nnnn12)3()2(2)1(nnn12222112…………………………………………案例3二次幂和公式2)1(nn案例3二次幂和公式222212n案例3二次幂和公式1)1(2)2(22)1(12nnn案例3二次幂和公式1)12()2(5)1(3121222nnnnn222221321)1(nnnn)12)(1(613212222nnnn案例3二次幂和公式阿基米德杠杆原理的启示——物理视角下的二次幂和Fehr（1963）：“伏尔泰曾说过：如果没有上帝，那就有必要创造一个出来。同样，我们也可以断言：在数学学习中，如果没有该学科的物理应用，那就有必要创造出一些来！”案例3二次幂和公式阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）案例3二次幂和公式xyO312nn-1案例3二次幂和公式nnn321113232122221213132nnn12161nnn案例3二次幂和公式阿尔·海赛姆（Al-Haitham,965～1039）：10-11世纪波斯数学家案例3二次幂和公式1234n1111111234n++++…+123++1234+++12+11234n22222nkkrnrnrrrnr11112)1(12)1(6112nnnrnr案例3二次幂和公式吉尔森（R.LeviBenGershon,1288-1344）《计算者之书》(MaasehHoshev)222213221nnnnnnnn2113121222案例3二次幂和公式123n1123n2222边长分别为1、2、3、…n的n个正方形面积之和即为二次幂和案例3二次幂和公式n321n323nnn吉尔森公式的几何图示：扩缩法案例3二次幂和公式ninrnrknrnrrnkr111221nirrnn12221ninrrrnn112221211211216112nnnrnr案例3二次幂和公式帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）案例3二次幂和公式分别令r=1，2，…，n，将个等式相加即得1331233rrrrnrnrrrnn1213331)1(12)1(6112nnnrnr案例3二次幂和公式三角形法122333nnnnnnnn-1-1-1案例3二次幂和公式nn-1122nnnnnnn-1-1-1n-2n-2案例3二次幂和公式nnnn-1122nnnn-1-1n-233案例3二次幂和公式12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+案例3二次幂和公式体积法12121123112nnnrnrnrnr2161121421414313nnnnnnV案例3二次幂和公式案例4球体积公式阿基米德案例4球体积公式OBDACVXYWEFHLGMNPQRST案例4球体积公式AH:AT=圆柱截面:（圆锥截面＋球截面）(圆锥截面＋球截面)=圆柱截面(圆锥AEF＋球)=圆柱EG，222::::APACATACACATACATAH222:PTATMT222:PTRTMTAHATAHAO案例4球体积公式球=4圆锥ABD336134DRV24RS案例4球体积公式1A2A3A12nA12nA14nAnA41A2A3AnA41B1C12nB22nC14nAnA2nA2TO案例4球体积公式球外切圆柱之表面积1221214nnnAAAAS1221214nnnAAAAS24RS32S案例4球体积公式nnnnpSVVVV44221431RSVnn4431334RV案例4球体积公式刘徽（3世纪）与祖暅（5世纪）牟合方盖案例4球体积公式中国传统数学的代表人物——魏晋时期数学家刘徽案例4球体积公式利用3DSMAX软件制作的牟合方盖案例4球体积公式22hR1111八分之一合盖的截面案例4球体积公式1111内棋（八分之一合盖）案例4球体积公式11111外棋（“立方之内、合盖之外”部分）案例4球体积公式C1DBCA倒立的阳马案例4球体积公式开普勒（J.Kepler，1571～1630）《测量酒桶体积的新科学》（1615）将球体积看成是无穷多个小棱锥的体积之和，这些棱锥的顶点在球心，底在球面上，于是由棱锥体积公式可得球积公式SRSRVS3131lim0案例4球体积公式开普勒案例4球体积公式卡瓦列利（B.Cavalieri，1598～1647）《连续体不可分量的几何学》（1629）案例4球体积公式BAOECDFGHK222222HKGKOKGKOGFK222GKHKFK圆柱截面－圆锥截面＝半球截面圆柱体积－圆锥体积＝半球体积案例4球体积公式松永良弼（1690～1744）：《算法集成》案例4球体积公式niiiininrnDrrnDV122211)(2niDDniDri2nininiinnDV1123326161Dn361DV案例5割补法与出入相补原理C1B1A1CBA问题1如图，正三角形ABC的边长为2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，，，，求几何体的体积。11AA13BB12CC案例5割补法与出入相补原理问题2如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求该多面体的体积。ADGBEFC案例5割补法与出入相补原理案例5割补法与出入相补原理案例5割补法与出入相补原理2213Vaabbh案例5割补法与出入相补原理2221133Vabhbahaabbh案例5割补法与出入相补原理B1C1A1D1DCBABCA1D1A