《二面角》优秀课件

二面角复习回顾1.在平面几何中角是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。AllOBA从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。lABPQ二面角的表示l二面角QlP二面角AB二面角QABP二面角l二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角的画法CEFDAB角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:1800OABAOBCDl二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法PABO练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AADBCl二面角--l--OEOO二面角A--BC--DD.,,,,,lBDlACBDAClBAAOD例1已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。3解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得AD⊥l3∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，43223AOAD①②③l二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”?)1.0(10,30,,60:mmABCD精确到多少时人升高了行走到沿这条直道从堤脚向上的夹角为它与堤脚的水平线上有一条直道堤面的二面角为河堤斜面与水平面所成如图CD例2FG30E小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的平面角角的平面角一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面ABPγβαιαβι平面所组成的图形叫做二面角1、定义二面角二面角2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa22又∵∠MPN=60º∴CD=PCa2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且OEBC212221在Rt△POE中，OE，PO22tanPEO∴22∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。2∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角23在Rt△PBE中，BE，PB=1，PE21OE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。βαACBOD练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD=,∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′=，求△AB′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。157ABCB’DO二面角练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBClO∠OAC＝120AO=BD=1,AC=271202222COSACAOAOACCO四边形ABDO为矩形,DO=AB=3练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l，AO=BD∵AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO∴AO⊥l∴CO⊥DOO437222DOCOCD在Rt△COD中，DO=AB=3E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC＝120，71202222COSACAOAOACCO∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴αβABCDA为二面角α–CD–β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α–CD–β的大小。作业二面角