序贯平差

序贯平差一、序贯平差原理设某平差问题，观测向量1nL，现把它分为121121nnLL、两组，组内相关，组间互不相关，即：12211121211100002211121QQPPPLLLnnnnnnnnn，（1）按间接平差原理选取参数1ˆtX，取近似10ˆtX，改正数为xˆ，分组后两组的误差方程分别为111ˆlxBV权阵1P（2a）222ˆlxBV权阵2P（2b）iiiiLdXBl0（i=1、2）若按整体平差，误差方程可以写为212121ˆllxBBVV权阵为2100PPP按间接平差原理可得其法方程为000ˆ00212121212121llPPBBxBBPPBBTT即0)(ˆ)(222111222111lPBlPBxBPBBPBTTTT由上式可得)()(ˆ2221111222111lPBlPBBPBBPBxTTTT按分组平差，先对第一组误差方程进行第一次平差（因未顾及第二组观测值2L，所以第一次平差只能得到xˆ的第一次近似值，用xˆ表示）。函数模型可改写为111ˆlxBV权阵1P（3）按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为0ˆ111111lPBxBPBTT（4）未知参数的第一次改正数1111111)(ˆlPBBPBxTT（5）未知参数的第一次平差值xXXˆˆ0（6）第一次平差后未知参数Xˆ的权阵为1111ˆˆˆBPBQPTXXX（7）将xˆ代入（3），得观测值1L的第一次改正数1V，而02V。再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数xXXˆˆ0作为虚拟观测值参与平差，其权阵为1111ˆˆˆBPBQPTXXX。误差方程为：xxxxXxXXXVXˆˆˆ)ˆ()ˆ(ˆˆ00ˆ（8）由上式知xxxˆˆˆ，其中xˆ称为参数的第二次改正数。联合第二组误差方程。即：2222222ˆ)ˆˆ(ˆlxBlxxBlxBV（9）其中)ˆ(222lxBl或)ˆ(2222LdXBl。由（8）、（9）联合组成法方程为0000ˆ0022ˆ222ˆ2lPPBIxBIPPBIXTXT即0ˆ)(222222ˆlPBxBPBPTTX（10）由上式可得参数的第二次改正数为2221222ˆ)(ˆlPBBPBPxTTX（11）将上式代入（9）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢？我们可以用)ˆˆ()(11xxVV和分别代替（8-1-2a）中的xVˆ1和，即：1111)ˆˆ()(lxxBVV因为经过第一次平差后，已使111ˆlxBV成立，所以有xBVˆ11（12）最后的平差值为：111111ˆVLVVLL（13）222ˆVLL（14）xXxxXXˆˆˆˆˆ0（15）下面给出精度评定公式。单位权中误差估值：tnPVVT20ˆ（16）其中xPxVPVVPVPVVXTTTTˆˆˆ222111，推证如下：22211121212100(VPVVPVVVPPVVPVVTTTTT）而xBVlxxBVˆ)ˆˆ(11111所以)ˆ()ˆ(11111111xBVPxBVVPVTTxBPBxxBPVVPVTTTTˆ)(ˆˆ2111111111但是0ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ1111111111111xlPBxBPBxBPlxBxBPVTTTTT并顾及1111ˆ'ˆ'ˆBPBQPTXXX，则有xPxVPVVPVPVVXTTTTˆˆˆ222111（17）未知参数的协因数阵：1222ˆˆˆ)(BPBPQTXXX（18）未知参数函数的协因数及中误差：设有参数函数的权函数式：xfdTˆfBPBPffQfQTXTXXT1222ˆˆˆ)(（19）Q0ˆˆ（20）二、例题如图1水准网，BA、为已知点，，，mHmHBA274.105293.86第一期同精度独立观测321hhh、、，第二期同精度独立观测54hh、，观测值为：mh927.121，mh050.62，mh827.53，mh083.74，mh886.115，试按序贯平差法求DC、两点高程的平差值及C点高程的中误差？图1解：本题25tn，，选DC、两点高程平差值为未知参数21ˆˆXX、，并取其近似值为：mhHXA220.99101mhHXA376.93402第一期误差方程11ˆxV4ˆ22xV权阵IP17ˆˆ213xxV写成111ˆlxBV的形式为1740ˆˆ111001211xxV法方程0ˆ111111lPBxBPBTT01713ˆˆ111321xx解得参数的第一次改正数及其权阵)(192ˆˆˆ21mmxxx)(395.93222.99ˆˆ0mmxXX1113ˆXP第一期观测值的第一次改正数)(022ˆ113211mmlxBVVVV第二期误差方程222ˆlxBV，可用第一期平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常数项就是2l，即719ˆˆ10102154xxVV结合第一次平差结果，组成法方程0ˆ)(222222ˆlPBxBPBPTTX即0260ˆˆ311321xx参数的第二次改正数及平差值)(75.925.3ˆˆ21mmxx)(385.93219.99ˆˆˆˆˆ0mmxXxxXX即HC=99.219(mm)HD=93.385(mm)第二期观测值的改正数)(75.225.9719ˆˆ10102154mmxxVV单位权中误差xPxVPVVPVPVVXTTTˆˆ'ˆ2221115.160375.63125.934)(3.735.160ˆ0mmtnPVVTC点高程平差值中误差，即参数1ˆX的中误差311381)(1222ˆˆˆBPBPQTXXX)(5.4833.7ˆˆ11ˆˆ01mmQXXX三、认识和体会序贯平差是柯尔莫哥洛夫(A.H.Kolmogorov)和维纳(N.Wiener)提出的，也叫逐次相关间接平差。其利用了新旧观测值的全部信息,通过规律性很强的递推公式把新旧观测数据对未知参数估计的影响视为等影响原则进行参数估计。序贯平差将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行。在实际应用中,经常会遇到测量数据量较大的问题,诸如在变形监测网中,需定期连续观测,观测数据量较大;当监测网中有新增测量数据时,利用整体平差法进行平差处理不得不反复解算陈旧的观测数据,如此这样必然会降低数据处理的效率。而序贯平差的提出正好弥补了整体法的不足。序贯平差是以最小二乘原理为基础的,充分利用前期平差结果与当前观测样本,无需存储历史观测数据，无需求大矩阵逆即能获得与整体平差相同的最优解,具有计算公式简洁、逻辑严密、规律性强、计算简单、计算量小等特点。在处理测量数据，尤其是数据量大、复测频繁的量测数据,利用序贯法更能体现出其递推公式的高效性。从计算速度来看,序贯法优于整体平差法；在数据量较小的情况下,就可达到较好的平差结果；若数据量较大时，那么速度的提高会更快。所以序贯算法可达到快速计算的效果,特别适用于大型测量网的计算。