2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数(1)和答案

2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-1-/14考纲展示考情汇总备考指导(1)指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.(2)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.③了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，a≠1).(3)幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况.2017年1月T92018年1月T22019年1月T7本章的重点是指数、对数的运算与性质，指数函数，对数函数、幂函数的图象、性质及其应用，难点是幂、指、对函数的图象、性质的应用，学习本章时要注意控制难度，掌握基本知识即可.指数与指数函数的图象和性质[基础知识填充]指数函数2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-2-/14(1)有理指数幂的含义及其运算性质a＞0，b＞0且r，s，t∈Q.as·at＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)r＝arbr.(2)函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数．(3)指数函数的图象和性质y＝ax0＜a＜1a＞1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1.a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性y＝ax和y＝a－x关于y轴对称.[学考真题对练]1．(2017·1月广东学考)下列等式恒成立的是()A.13x＝x－23(x≠0)B．(3x)2＝3x2C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)D．log313x＝－xD[A.13x＝x－13(x≠0)；B.(3x)2＝32x；C.log3(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)．]2．(2019·1月广东学考)已知a0，则a3a2＝()2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-3-/14A．a12B．a32C．a23D．a13D[a3a2＝aa23)＝a1－23)＝a13.]指数函数的性质及应用问题解题策略：(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．[最新模拟快练]1．(2018·汕头市高一期中)函数f(x)＝ax－1＋2(a0且a≠1)的图象一定经过点()A．(1,3)B．(0,3)C．(1,2)D．(0,1)A[对于任意a0且a≠1，由x－1＝0可得x＝1，当x＝1时，f(1)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2的图象一定经过点(1,3)，本题选择A选项．]2．计算：(6a9)4·(3a6)4等于()A．a16B．a14C．a8D．a2B[将根式化为分数指数幂的运算可得结果为a14.]3．(2019·东莞学考模拟题)函数f(x)＝12x在区间[－2,2]上的最小值是()A．－14B.14C．－4D．4B[函数f(x)＝12x在定义域R上单调递减，2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-4-/14∴f(x)在区间[－2,2]上的最小值为f(2)＝122＝14.]4．(2018·汕头市高一期中)函数y＝ax－a(a0，a≠1)的图象可能是()C[由于当x＝1时，y＝0，即函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，故排除A、B、D.故选C.]5．(2019·中山学考模拟题)已知a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是()A．abcB．bacC．bcaD．cbaC[a＝log30.2＜0，b＝30.2＞1，c＝0.30.2∈(0,1)，∴a＜c＜b.]6．(2019·广州高一期中)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6，则a＝________.2[当x＝1时，f(x)取得最大值，那么x＝2取得最小值，或者x＝1时，f(x)取得最小值，那么x＝2取得最大值．∴a＋a2＝6，∵a＞0，a≠1，∴a＝2.]7．(2019·深圳高一期末)已知定义域为R的函数f(x)＝b－2x2x＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；[解](1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.经检验a＝1，b＝1符合题意．(2)任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2x12x1＋1－1－2x22x2＋1＝1－2x12x2＋1－1－2x22x1＋12x1＋12x2＋12019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-5-/14＝22x2－2x12x1＋12x2＋1.因为x1x2，所以2x2－2x10，又因为(2x1＋1)(2x2＋1)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x)为R上的减函数．对数运算与对数函数的图象和性质[基础知识填充]对数及对数函数(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数．记作：x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：logaa＝1；loga1＝0；alogaN＝N；logaM＋logaN＝loga(MN)；logaM－logaN＝logaMN；logaMn＝nlogaM(n∈R)；换底公式：logab＝logcblogca(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1)，logab·logba＝1.(3)对数函数的图象和性质y＝logax0＜a＜1a＞1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0.同正异负，即0＜a＜1,0＜x＜1或a＞1，x＞1时，logax＞0；0＜a＜1，x＞1或a＞1,0＜x＜1时，logax＜0.单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[学考真题对练]2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-6-/14(2018·1月广东学考)对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是()A．lgy－lgx＝lgyxB．lg(x＋y)＝lgx＋lgyC．lgx3＝3lgxD．lgx＝lnxln10B[对于B项，令x＝y＝1，则lg(x＋y)＝lg2，而lgx＋lgy＝0，显然不成立，故选B.]应用对数型函数的图象可求解的问题：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[最新模拟快练]1．(2019·佛山学考模拟题)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()A[由于函数为偶函数又过(0,0)，所以直接选A.]2．(2019·深圳学考模拟题)设a＝20.1，b＝lg52，c＝log3910，则a，b，c的大小关系是()A．bcaB．acbC．bacD．abcD[∵20.120＝1＝lg10lg520log3910，∴abc.]3．(2018·广州市学考模拟题)计算log318－log32＝________.2[log318－log32＝log3182＝log39＝2.]4．(2019·中山高一期中)已知函数f(x)＝4－log2x，x∈[2,8]，则f(x)的值域是2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-7-/14________．[1,3][∵函数f(x)＝4－log2x在x∈[2,8]时单调递减，∴当x＝2时函数取最大值4－log22＝3，当x＝8时函数取最小值4－log28＝1，∴函数f(x)的值域为[1,3]．]5．(2018·中山高一期末)已知f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．[解](1)根据题意可得3＋x03－x0，解不等式可得－3x3，∴定义域为(－3,3)．(2)∵定义域为(－3,3)关于原点对称，∴f(－x)＝log3(3－x)＋log3(3＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数.幂函数的有关性质[基础知识填充]幂函数(1)函数y＝xα叫做幂函数(只考虑α＝1,2,3，12，－1的图象)．(2)画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象(如图)，观察它们的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-8-/14奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈(0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0)时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减定点(1,1)[最新模拟快练]1．(2019·揭阳学考模拟题)已知幂函数f(x)＝xn的图象经过点(3，3)，则f(9)的值为()A．3B．±3C.12D．33A[∵幂函数f(x)＝xn的图象经过点(3，3)，∴f(3)＝3n＝3，解得n＝12，∴f(x)＝x12，∴f(9)＝912＝3.]2．(2019·云浮学考模拟题)函数y＝x－2在区间12，2上的最大值是()A.174B.14C．4D．－4C[易知y＝x－2在12，2上单调递减，所以当x＝12时，函数y＝x－2的最大值是12－2＝4.]3．(2019·佛山学考模拟题)如图，函数y＝x23的图象是()D[幂函数y＝x23是偶函数，图象关于y轴对称，所以可排除选项A，B，C，选D.]2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第2章+基本初等函数（1）和答案-9-/144．(2018·韶关市高一月考)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－m5(5－2a)－m5的a的取值范围．[解]因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－90，解得m3，又m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)－15(5－2a)－15，因为y＝x－15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋35－2a0或5－2aa＋30或a＋305－2a，解得23a52或a－3.一、选择题1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点12，22，则f(2)的值为()A.2B．－2C．2D．－2A[设幂函数y＝f(x)＝xα，把点12，22代入可得22＝12α，∴α＝12，即f(x)＝x12，故f(2)＝212＝2，故选A.]2．log42－log48等于()A．－2B．－1C．1D．2B[log42－log48＝log428＝log44－1＝－1，故选B.]3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝－xB．f(x)＝1xC．f(x)＝l