学考仿真卷(四)(时间:90分钟;分值:100分,本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知集合M={1,2},N={0,1,3},则M∩N=()A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{1,2,3}A[由题得M∩N={1,2}∩{0,1,3}={1}.]2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a5=9,S2=4,则a2=()A.1B.2C.3D.5C[设等差数列{an}的公差为d,则a5=a1+4d=9,S2=2a1+d=4,解得a1=1,d=2,∴a2=a1+d=3.]3.“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B[当a·b=0时,a,b的夹角为直角,故“a·b≥0”不能推出“a与b的夹角为锐角”.当“a与b的夹角为锐角”时,a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉0,即能推出“a·b≥0”.综上所述,“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.]4.在x轴、y轴上的截距分别是-2,3的直线方程是()A.2x-3y-6=0B.3x-2y-6=0C.3x-2y+6=0D.2x-3y+6=0C[由直线的截距式得,所求直线的方程为x-2+y3=1,即3x-2y+6=0.]5.已知a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系()A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能垂直C[a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b异面和相交均有可能,但不会平行.若c∥b,因为c∥a,由平行公理得a∥b,与a,b是两条异面直线矛盾.故选C.]6.在平行四边形ABCD中,AB→+AD→等于()A.AC→B.BD→C.DB→D.|AC→|A[AB→+AD→=AB→+BC→=AC→.]7.圆(x-1)2+y2=1与直线y=33x的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心A[由圆的方程得圆心坐标为(1,0),半径r=1,因为(1,0)到直线y=33x的距离d=331+332=121,所以圆与直线的位置关系为相交.]8.方程x3-2=0的根所在的区间是()A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)C[∵x3-2=0,∴x3=2,故x=32,∵y=3x是增函数,∴313238,1322,即方程x3-2=0的根所在的区间是(1,2),故选C.]9.一个简单几何体的正视图,侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④C[其俯视图若为圆,则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样,由图中可知其正视图的长度与侧视图的宽度不一样,因此其俯视图不可能是圆.故选C.]10.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3C[∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,根据对立事件的概率和为1,∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.]11.函数f(x)=x3-2的零点所在的区间是()A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)C[∵f(1)=13-2=-10,f(2)=23-2=60,∴f(1)·f(2)0.又函数f(x)在(1,2)上是连续的,故f(x)的零点所在的一个区间为(1,2).故选C.]12.已知点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足y≤|x|,那么|PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.1B[作出平面区域如图,则|PA|的最小值为A(0,1)到直线x-y=0的距离d=12=22.]13.将函数y=cosx的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)的最小正周期为πB.y=f(x)是偶函数C.y=f(x)的图象关于点π2,0对称D.y=f(x)在区间0,π2上是减函数D[将函数y=cosx的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f(x)=cosx+π2=-sinx的图象,再结合正弦函数的图象特征,可知A,B,C错误,D正确.故选D.]14.求值:sin45°cos15°+cos45°sin15°=()A.-32B.-12C.12D.32D[sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin60°=32.]15.已知函数f(x)是奇函数,且在区间[1,2]上单调递减,则f(x)在区间[-2,-1]上是()A.单调递减函数,且有最小值-f(2)B.单调递减函数,且有最大值-f(2)C.单调递增函数,且有最小值f(2)D.单调递增函数,且有最大值f(2)B[因为函数f(x)是奇函数,且在区间[1,2]上单调递减,由函数的奇偶性性质知,奇函数在对称区间上的单调性相同,所以f(x)在区间[-2,-1]上是单调递减函数.当x=-2时,有最大值,f(-2)=-f(2),故选B.]二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在题中横线上)16.执行如图所示的程序框图,若输入x的值是5,则输出y的值是________.0.5[阅读程序框图,可得该程序的功能是求分段函数的函数值,分段函数的解析式为f(x)=0.2,x≤30.1x,x3,因为输入x的值是5,53,所以f(5)=0.1×5=0.5.]17.若函数f(x)=loga(x+m)+1(a0且a≠1)恒过定点(2,n),则m+n的值为________.0[f(x)=loga(x+m)+1过定点(2,n),则loga(2+m)+1=n恒成立,∴2+m=1,1=n⇒m=-1,n=1,∴m+n=0.]18.设e是椭圆x2k+y24=1的离心率,且e∈12,1,则实数k的取值范围是________.(0,3)∪163,+∞[当焦点在x轴上时,e=k-4k∈12,1,∴k-4k∈14,1,∴k∈163,+∞;当焦点在y轴上时,e=4-k2∈12,1,∴k∈(0,3).故实数k的取值范围是(0,3)∪163,+∞.]19.已知x∈[0,π],且3sinx2=1+sinx,则tanx2=________.12[由于0≤x≤π,所以0≤x2≤π2,故sinx2≥0,cosx2≥0.所以1+sinx=sin2x2+2sinx2cosx2+cos2x2=sinx2+cosx2,即sinx2+cosx2=3sinx2,即cosx2=2sinx2,故tanx2=sinx2cosx2=12.]三、解答题(本大题共2小题,共24分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)20.(本小题满分12分如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥CB,点M和N分别是B1C1和BC的中点.(1)求证:MB∥平面AC1N;(2)求证:AC⊥MB.[证明](1)在三棱柱ABCA1B1C1中,因为点M,N分别是B1C1,BC的中点,所以C1M∥BN,C1M=BN,所以MC1NB是平行四边形,所以C1N∥MB.因为C1N⊂平面AC1N,MB⊄平面AC1N,所以MB∥平面AC1N.(2)因为CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.因为MB⊂平面BCC1B1,所以AC⊥MB.21.某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式,方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试;方式二:周六一天培训4小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训;甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下表:第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016(1)用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1),并据此判断哪种培训方式效率更高?(2)在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人来自甲组的概率.[解](1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2,则t1=20×5+25×10+10×15+5×2060=10(小时),t2=8×4+16×8+20×12+16×1660≈10.9(小时),据此可估计用方式一与方式二培训,员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时,因1010.9,据此可判断培训方式一比方式二效率更高.(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为:630×10=2,来自乙组的人数为:630×20=4,记来自甲组的2人为:a、b;来自乙组的4人为:c、d、e、f,则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种,其中至少有1人来自甲组的有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),共9种,故所求的概率P=915=35.