北师大九年级数学下册知识点汇总

第1页图1北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册)第一章直角三角形边的关系※一.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．．，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan;①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。※二.正弦．．：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin;※三.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos;※余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即的对边的邻边AAAcot;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则①)90cos(sinAA；)90sin(cosAA②)90cot(tanAA；)90tan(cotAA※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tgα·ctgα=1。※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出0º30º45º60º90ºsinα02122231cosα12322210tanα03313—cotα—31330第2页图3图4所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式:chcab2121S(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR21◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．．(或叫做坡比．．)。用字母i表示，即Alhitan◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。第二章二次函数※二次函数的概念：形如)0(2，aa、、b、cbxaxy是常数的函数，叫做x的二次函数．．．．。自变量的取值范围是全体实数。)0(2aaxy是二次函数的特例，此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范．．．．．．．图2hi=h:llABC第3页围．。※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．。描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。④函数的增减性：A、当a＞0时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当a＜0时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．※二次函数caxy2的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线※二次函数cbxaxy2的图象是以为abx2对称轴，顶点在（ab2，abac442）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。※二次函数caxy2的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。※二次函数cbxaxy2的图象与y＝ax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：①将cbxaxy2配方成khxay2)(的形式；（其中h=ab2，k=abac442）；②把抛物线2axy向右（h0）或向左（h0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线2)(hxay向上（k0）或向下（k0）平移|k|个单位，便得到khxay2)(的图象。※二次函数cbxaxy2的性质：二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的①对称轴：x=ab2②顶点坐标：（ab2，abac442）③增减性：若a0，则当xab2时，y随x的增大而减小．．．．．；当xab2时，y随x的增大而增大。．．．．．．第4页若a0，则当xab2时，y随x的增大而增大．．．．．；当xab2时，y随x的增大而减小。．．．．．．④最值：若a0，则当x=ab2时，abacy442最小；若a0，则当x=ab2时，abacy442最大※画二次函数cbxaxy2的图象：我们可以利用它与函数2axy的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：①先找出顶点（ab2，abac442），画出对称轴x=ab2；②找出图象上关于直线x=ab2对称的四个点（如与坐标的交点等）；③把上述五点连成光滑的曲线。¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。¤解决最大（小）值问题的基本思路是：①理解问题；②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；③用数学的方式表示它们之间的关系；④做数学求解；⑤检验结果的合理性、拓展性等。※二次函数cbxaxy2的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：acb420===抛物线与x轴有2个交点；acb42=0===抛物线与x轴有1个交点；acb420===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；※当acb420时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：2122121224)()(||||1xxxxxxxxAB化简后即为：)04(||4||22acbaacbAB------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第三章圆一.车轮为什么做成圆形※1.圆的定义：第5页描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；线段OA叫做半径．．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心．．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。※2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二.圆的对称性:※1.与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。直径：经过圆心的弦叫做直径．．。②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.※2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。※3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:第6页※1.1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的.※3.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；※四.确定圆的条件:※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.※定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心