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&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷第13章检测试题(时间:45分钟满分:100分)【测控导航表】知识点题号全等三角形的判定5,7,8,12,14,15,18等腰三角形性质及判定3,4,10,19,20线段的垂直平分线、角平分线2,11,13,16,17命题及尺规作图1,6,9,17一、选择题(每小题4分,共32分)1.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(D)(A)垂直(B)两条直线(C)同一条直线(D)两条直线垂直于同一条直线解析:条件为两条直线垂直于同一条直线,结论为这两条直线互相平行.故选D.2.如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数为(B)(A)40°(B)50°(C)60°(D)55°解析:因为DE垂直平分AC,∠A=30°,所以AE=CE,∠ACE=∠A=30°,因为∠ACB=80°,&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷所以∠BCE=80°-30°=50°.故选B.3.已知等腰三角形两边长分别为2和3,则此等腰三角形的周长为(D)(A)7(B)8(C)6或8(D)7或8解析:①等腰三角形周长为2+2+3=7,②等腰三角形周长为3+3+2=8,故选D.4.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,BC交AD于O.给出下列结论:①BC平分∠ABD;②△ABO≌△CDO;③∠AOC=120°;④△BOD是等腰三角形.其中正确的结论有(B)(A)①③(B)②④(C)①②(D)③④解析:因为把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,所以∠C=∠A=90°,AB=CD;因为∠AOB=∠COD,所以△ABO≌△CDO;所以OB=OD,所以△BOD是等腰三角形,其他无法证明.故选B.5.如图,AC,BD交于点E,AE=CE,添加以下四个条件中的一个,其中不能使△ABE≌△CDE的条件是(D)(A)BE=DE(B)AB∥CD(C)∠A=∠C(D)AB=CD解析:选项A,可利用S.A.S.证明△ABE≌△CDE,故此选项不合题意;选项B,由AB∥CD可得∠A=∠C,可利用A.S.A.证明△ABE≌△CDE,故此选项不合题意;&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷选项C,可利用A.S.A.证明△ABE≌△CDE,故此选项不合题意;选项D,不能证明△ABE≌△CDE,故此选项符合题意.故选D.6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(C)①AD平分∠BAC;②作图依据是S.A.S.;③∠ADC=60°;④点D在AB的垂直平分线上;(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①根据作图的过程可知,AD是∠CAB的角平分线,故①正确;②作图依据是S.S.S.,故②错误;③如图,因为在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,所以∠CAB=60°.又因为AD是∠BAC的平分线,所以∠1=∠2=∠CAB=30°,所以∠3=90°-∠2=60°,即∠ADC=60°,故③正确;④因为∠1=∠B=30°,&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷所以AD=BD,所以点D在AB的垂直平分线上.故④正确;故选C.7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连结AC,BD相交于点O,则图中全等三角形共有(C)(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对解析:在△ABC和△ADC中{所以△ABC≌△ADC(S.S.S.).所以∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,在△ABO和△ADO中,{∠∠所以△ABO≌△ADO(S.A.S.).在△BOC和△DOC中{∠∠所以△BOC≌△DOC(S.A.S.).所以共有3对全等三角形.故选C.&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,AE=DE=DF=AF;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是(D)(A)②③(B)②④(C)①③④(D)②③④解析:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠FAD,易得△AED≌△AFD(A.A.S.),可得AE=AF,DE=DF,所以AE+DF=AF+DE,所以④正确;易得△AEO≌△AFO(S.A.S.),得EO=FO,又因为AE=AF,所以AO是EF的中垂线,所以AD⊥EF,所以②正确;因为当∠BAC=90°时,所以∠EAD=∠FAD=45°,&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷所以AE=DE,AF=DF,所以AE=DE=DF=AF,所以③正确.因为由已知得不出OA=OD,所以①错误.综上,可得正确的是②③④.故选D.二、填空题(每小题4分,共24分)9.命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等,那么这个三角形是等腰三角形.10.如图,在△ABC中,∠C=20°,CA=CB,则△ABC的外角∠ABD=100°.解析:因为∠C=20°,CA=CB,所以∠A=∠ABC=°°=80°,所以∠ABD=∠A+∠C=80°+20°=100°.11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线,若CD=3,则△ABD的面积为15.解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,因为AD是∠BAC的平分线,&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷所以DE=CD,因为CD=3,所以DE=3.所以S△ABD=AB·DE=×10×3=15.12.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是AC=DF.(只需写一个,不添加辅助线)解析:AC=DF,理由是:因为BF=CE,所以BF+FC=CE+FC,所以BC=EF,因为AC∥DF,所以∠ACB=∠DFE,在△ABC和△DEF中,{∠∠所以△ABC≌△DEF.13.下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的个数有3个.解析:其中正确的有①②③.14.如图,AD⊥BC,垂足为D,∠BAD=45°,BF⊥AC,垂足为F,BC=8cm,DC=3cm,则AE=2cm.&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷解析:因为∠BAD=45°,AD⊥BC,所以AD=BD.因为BF⊥AC,所以∠C+∠FBC=90°,因为AD⊥BC,所以∠C+∠DAC=90°,所以∠DAC=∠FBC,在△BDE和△ADC中,{∠∠∠∠所以△BDE≌△ADC(A.S.A.),所以CD=DE=3cm,因为BC=8cm,DC=3cm,所以BD=AD=5cm,所以AE=5-3=2(cm).三、解答题(共44分)15.(6分)如图,在△ABC中,点D是BC上的一点,且∠B=∠ADB,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证:BC=DE.证明:因为∠BAD=∠CAE,&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,因为∠B=∠ADB,所以AB=AD.在△ABC和△ADE中,因为{∠∠所以△ABC≌△ADE(S.A.S.),所以BC=DE.16.(6分)已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.解:如图,连结AD,因为AB=AC,BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(S.S.S.),所以∠BAD=∠CAD,所以AD是∠EAF的角平分线,又因为DE⊥AE,DF⊥AF,所以DE=DF.&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷17.(8分)如图,已知锐角三角形ABC.(1)在△ABC内部作一点P,使PB=PC,且点P到AB,BC的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)(2)若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP.解:(1)如图所示:作BC的垂直平分线l,作∠B的平分线BM,交直线l于点P,则点P即为所求.(2)连结PC,设∠ABP=x,则∠CBP=∠PCB=x,因为∠A=60°,∠ACP=24°,所以∠A+∠ACP+3x=180°,所以∠ABP=(180°-60°-24°)=32°.18.(8分)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷证明:(1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以∠BAE=∠CAE,在△ABE和△ACE中,{∠∠所以△ABE≌△ACE,所以BE=CE.(2)因为∠BAC=45°,BF⊥AF,所以△ABF为等腰直角三角形,所以AF=BF,因为AB=AC,点D是BC的中点,所以AD⊥BC,所以∠EAF+∠C=90°,因为BF⊥AC,所以∠CBF+∠C=90°,所以∠EAF=∠CBF,在△AEF和△BCF中,{∠∠∠∠°所以△AEF≌△BCF.19.(8分)如图所示,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由.(1)证明:因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB.因为BD,CE是△ABC的两条高,所以∠BDC=∠CEB=90°.又因为BC=CB,所以△BDC≌△CEB.所以∠DCB=∠EBC,所以AB=AC.所以△ABC是等腰三角形.(2)解:点O在∠BAC的角平分线上,连结AO.因为△BDC≌△CEB,所以EC=DB.因为OB=OC,所以OD=OE.又因为BD,CE是△ABC的高,AO=AO,所以△ADO≌△AEO(H.L.).&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷所以∠DAO=∠EAO.所以点O在∠BAC的角平分线上.20.(8分)如图,△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形.(1)求证:AB∥CQ.(2)是否存在点P,使得AQ⊥CQ?若存在,指出点P的位置;若不存在,说明理由.(1)证明:因为AB=AC,∠BAP=∠QAC,AP=AQ,所以△ABP≌△ACQ,所以∠B=∠ACQ=60°,所以∠ACQ=∠BAC,所以AB∥CQ.(2)解:存在,当点P为BC的中点时,AQ⊥CQ.理由如下:因为点P为BC的中点,所以∠CAP=30°.又△APQ为等边三角形,所以∠CAQ=30°.由(1)知∠ACQ=60°,所以∠AQC=90°,即AQ⊥CQ.附加题(共20分)&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&鑫达捷21.(10分)如图,∠ABC=90°,D,E分别在BC,AC上,AD⊥DE,且AD=DE.点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.(1)求证:∠FMC=∠FCM;(2)AD与MC垂直吗?并说明理由.(1)证明:因为△ADE是等腰直角三角形,F是AE的中点,所以DF⊥AE,DF=AF=EF,又∠ABC=90°,∠DCF,∠AMF都与∠MAC互余,所以∠DCF=∠AMF,又∠DFC=∠AFM=90°,所以△DFC≌△AFM,所以CF=MF,所以∠FMC=∠FCM.(2)解:AD与MC垂直,理由如下:由(1)知∠MFC=90°,FD=FE,FM=FC,所以∠FDE=∠FMC=45°,所以DE∥CM,因为AD⊥DE,所以AD⊥MC.22.(10分)如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC且AD=BD.求证:CD⊥AC.&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供