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《三角函数.平面向量、解三角形》高考题研究报告宜城一中李长征徐光辉叶正国2014年9月3FI发布的《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》中指出:“考试招生制度是国家基本教育制度”，并具体指出考试内容改革的措施是“依据高校人才选拔耍求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性,看重考查考生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力”，“2015年起增加使用全国统一命题试卷的省份”.在这样的指导方针下，2015年高考采用新课标全国卷I的省份在原有基础上，又增加了江西省，从2016年开始，河南、河北、山东、山西、陕西、江西、湖南、湖北、重庆、四川、广东、安徽、福建等省釆用新课标全国卷I,这使得2015年新课标全国卷I比以往更加受学生、家长和老师的瞩目.这样的一份试卷，向我们传达了怎样的思想？希望我们用什么样的理念去进行教与学？对备战将来的高考有着怎样的指导意义？值得我们认真思考和深入研究.本人将对课标卷I以及部分省市的高考中的三角函数、平面向量、解三角形等试题进行研究，以期抛砖引玉，对2016年高考有所帮助。一、课标卷命题规律总结课标卷对这部分内容每年必考，分值稳定，有易有难，解答题中，在第一题位置与数列交替，近三年解答题规律是理科：三角，数列，数列；文科是：数列，数列，三角。当解答题是数列时，三角函数一定有一个较难的题（选择题最后或填空题最后）。向量与解三角形不仅仅与三角函数题结合，立体儿何屮也成常态。近五年命题规律如下：三角函数与解三角形：基本上每年都在考查，分值在15〜17分，2011年第5题考查三角函数定义，第11题考查三角函数性质，第16题考查解三角形中的最值问题，考查难度较大；2012年第9题考查三角函数的单调性，第17题是解答题，考查解三角形，试题较容易；2013年第15题考查三角恒等变换、同角基本关系，难度中等，第17题是解答题，考查解三角形，该题较2012年难；2014年笫6题考查三角函数中求动点轨迹，是一道创新题，综合性强，不易得分，第8题考查三角恒等变换，有一定难度，第16题考查解三角形、面积的最值，不易得分；2015年第2题考查止弦的两角差公式，第8题考查三角函数的图象和性质，两题都比较简单，笫16题考查解三角形，有--定难度，总体分值保持不变，难度稍有降低.平面向量：2011年第10题考查向量的夹角（与命题结合），2012年第13题考查向量的模，2013年第13题考查向量的数量积，2014年第15题考查向量的夹角，2015年第7题考查向量的儿何表示及加减法的运算和性质，有一定的难度.常考点：三角函数的定义；同角三角函数基本关系式；三角函数的图像与性质；三角恒等变换；正弦定理与余弦定理的应用；解三角形；平面向量的概念及运算;平血向量基本定理及坐标表示；平血向量的数量积。易考点：三角函数的图像与性质；三角恒等变换；正、余弦定理的应用；解三角形；平面向量基本定理及坐标表示；平面向量的数量积。必考点：三角两数的图像与性质；三角恒等变换；解三角形；平面向量数量积。冷点：三角函数与导数，不等式结合（2015安徽21,2014辽宁21,2013福建20）二、各知识点分类解析1、平面向量对平面向量的考查，近五年课标卷每年一个小题，另外大题屮也含有向量，主要考查向量的基本定义，共线概念，基本定理，数量积运算，坐标运算等等，一般以容易题与中档题为主，也有综合性较大的难题。2015年高考题再现（1）考概念，考运算，难度系数：低AC=2a+b,则下列结论正确的是（）A、&=1a丄&Cab=1D、（4cz+b）丄BC陕西7、对任意向量二b,下列关系式屮不恒成立的是（）A、abab课标卷7、设D为MBC所在平面内一点,BC=3CD,贝9()—-1—-4—-A.AD=--AB+-AC33―・4―1—C、AD=-AB+-AC33—1—-4—-AD=-AB——AC33—4—1D.AD=-AB——AC3B、山东4、已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60\则BDCD=(A.D、重庆6、若非零向暈a,b满足a且（a-b）丄（3。+“），则a与b的夹角为（71A、一471B.—2C、D、71安徽8.MBC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,B、a-ba-bC(a-^-b)2=a+bD、(a+b)•(a-b)=a-b湖北11、已知向量刃丄期，10^=3,则刃=(2)综合应用，难度中等偏难福建9、已知而丄入&|AB|=-J-,=f,若点P是AABC所在平面内一点,——ARW————.且AP==+—则PBPC的最大值等于()(2013年)安徽9、在平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点A,〃满足|a4|=|5^=a4-OB=2,则点集{POP=WA++|//|ia,AeR}所表示的区域的面积是()A、2B、2^3C、4A/2D、4A/3(2014)安徽10、平面直角坐标系xOy屮，已知向量a,b,a=b=\,a-b=0,点Q满足OQ=42(ci-^b).曲线C=[F^OP=acos0+hsin0fi027r},区域Q={^0r|p^/?,r/?}.若CcG为两段分离的曲线，贝U()A1r7?3Blr37?C、厂SlvRv3D1/*37?(2014)湖南16、在平面直角坐标系中，0为原点，A(-1,O),B(O,V3),C(3,O),动点D满足|cB|=l,则网+亦+列的最大值为_______________________________・(2014)陕西18、在直角坐标系xOy中,已知点A(l,l),B(2,3)，C(3,2),点P(x,y)在AABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若~PA+~PB+~PC=G,求；(2)设OP=mAB+nAC(gnwR),用兀,y表示m_n,并求m-n的最大值.2、解三角形对于解三角形，近三年每年必考，常伴有三角恒等变换，诱导公式，有判断三角形形状的，有求某一边或某一角的，有求取值范围的，可以与向量结合，也可能与空间儿何体结合，主要理论有正弦定理、余弦定理、面积公式等。有选择题，填空题，也有解答题，立体几何中也常涉及相关定理求值。难度低、中、难均有。2015年各地高考题在这些方面均有体现。课标卷16、在平面四边形ABCQ中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,则AB的取值范围是_______.此题难度较大，可以利用数形结合，补形求解，也可以连接BD,设ZADB=0，依条件6^G（30°,105）,建立目标函数求解。广东11、设AABC的内角A,B,C的对边分别为ci、b,c,若a=&,sinB=-,2TTC=-,则/?=__________•此题比较容易，利用正弦定理即可求解。6福建12、若锐角AA3C的面枳为1（仍，且AB=5,AC=8,则BC等于_____________.此题比较简单，利用而积公式与余弦定理即可求解，要注意看清“锐角三角形”。重庆13、在屮，B=120°,AB=迈,A的角平分线AD=忑,则AC等于・此题是正弦定理与余弦定理的综合应用，有一定的难度。湖北13、如图（图略），一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D在北偏西30°的方向上，行驶600/77后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山的高度CD=______________加.此题改自必修5上的一道例题，是一道空间几何体中的解三角形问题，难度中等，概念要清，位置关系要熟。安徽16、在\ABCZA=—,AB=6tAC=3近，点D在BC边上，且4AD=BD,求AD的长。此题考查余弦定理与正弦定理，比较容易，但由于只有一问，不容易分步得分，所以过程必须仔细.湖南17、设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan4,且B为钝7T角.（1）证明：B-A=~；（2）求sinA+sinC的取值范围.此题是一道解三角2形与三角恒等变换的小综合题，难度屮等。最后求范I韦I时要注意角A的范I韦I。陕西17、设的内角A,5C的对边分别为a,b,c,向量方=（°,岳）与向量n—（cosAsinB）平行.（1）求A；（2）若G=J7,Z?=2,求\ABC的面积.此题作为第一道解答题比较容易，主要考查向量平行的坐标表示，正弦定理与余弦定理，面积公式，特殊角的三角函数值等知识。四川19、如图（图略），为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明:A1—PQCAtan-=---------------；（2）若A+C=180,AB=6.BC=3,CD=4.AD=5,2sinA求tan-+tan-+tan-+tan—的值.此题放在第四大题的位置，可以想象它的2222难度绝对不低，第一问实际上是一个半角公式的证明，与图形没有多大联系。第二问需要第一问的结果，并且要多次使用余弦定理，想拿全分不容易，但可以考虑多拿步骤分。3、三角函数三角函数的概念，同角三角函数基本关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式等都是考查的重点，有直接计算的题，也有变形后应用公式的题，难度不大。三角函数的图像与性质为历年高考命题的重点，主要考查三方面：一是三角函数基本性质的判断与求解，如函数的奇偶性、单调性、周期性与图像对称性等；二是三角函数图像的识别，多为由图像求解析式；三是三角函数图像的基本变换.这三类问题多以三角函数的恒等变换为基础，多为客观题。在解答题中，多与向量，解三角形相结合。（1）直接考概念、公式课标卷2、sin20cosl0°-cosl60sin10=()福建（文）6、若或心-咅且纺第四象限角,则论的值等于（陕西6“sina=cosa是“cos2Q=0”的()条件四川12.sin15°+sin75°的值是____________371cos(a--------)则--------asin(tz-—)5（2）考图像，考性质课标卷8、根据部分图像求函数的单调递减区间TT山东3、要得到函数y=sin（4尢-亍）的图像，只需将函数y=sin4x的图像（）TT湖南9、将函数/（x）=sin2x的图像向右平移0（0（p—）个单位后.........陕西3、根据图像求最值湖北12、求零点个数，化简后转化为三角函数图像与对数函数图像交点个数问题四川4、JI重庆9.若tancr=2tan—,下列函数屮，最小正周期为龙且图像关于原点对称的函数是（）（3）解答题，降幕，合成，求解三角函数作为解答题时，基本上是在第一题位置，解答格式基本上是先进行恒等变换，然后利用辅助角公式变成4sin（mr+0）+B的形式，然后求解周期,最值，单调区间，取值范围，对称问题，与三角形结合求值，求范围等等。2015年用此方式的有：广东16题（与向量结合），山东16题（与解三角形结合），福建19题（笫四大题，涉及图像变换，函数零点，恒等式的证明），湖北17题（涉及五点法作图，图像变换等知识），重庆18题（第三大题，涉及恒等变换，定区间上的单调性等知识）。三、复习建议课标卷I解答题第一题是数列与三角函数的轮换，已经连续两年为数列题，2016年极大可能为三角函数题，不外乎考查三角恒等变换，三角两数的图像与性质；又或者是三角函数与解三角形的综合。而客观题经常考向量运算，三角化简,图像特征等，题冃容易，我们必需拿下来，对于这块内容，我们在复习备考时要落实基础，耐心细致，多积累，达到熟能生巧，快速反应。1、“死记硬背”与“灵活运用”相结合由于三角函数、平面向量、解三角形这块知识概念多，公式多，所以学好这块知识的笫一件事就是“死记硬背”，背概念，背公式，背基本解题套路等等。角度制与弧度制的互化，三角函数在各象限的符号，特殊角的三角函数值，诱导公式,同角三角函数关系式，两角和与差的正弦，余弦，正切公式（和，差，二倍角等）,三角函数的图像与性质（单调性、奇偶性、周期性、图像特征等），正弦定理与余弦定理，三角形面积公式，向量基本概念与表示，共线定理，平面向量基本定理,数量积运算，坐标表示及运算等等知识是考试必备知识，必须记熟。当然，只记公式远远不够，还要灵活运用，特别是公式的