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2004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座2004.52004.5混沌电子学讲座混沌电子学讲座——目的•简介•定性•不准确之处，还望鉴谅2004.5混沌电子学讲座讲述内容（一）混沌的概念——什么是混沌（二）抛物线映射及混沌（三）混沌电子学的概念——什么是混沌电子学（四）混沌电子学实验方法（五）混沌电子学的应用2004.5混沌电子学讲座混沌的概念（1）——什么是混沌•非线性动力系统•输出波形图•相图•分岔图•Lyapunov指数•Poincare映射•功率谱•测度和熵……•什么是混沌1.用上面的各种方法所描述的现象2.动力系统的方程的解不能定量给出3.一般由相图、分岔图和Lyapunov指数来研究通向混沌的道路2004.5混沌电子学讲座混沌的概念（2）——混沌的定义•至今没有严格的数学定义研究者尚未充分理解混沌从事不同研究领域的学者对混沌的理解不同•混沌定性的定义·混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，这种随机的过程来自于系统的非线性。·某些完全确定论的系统，不加任何随机因素，就可能出现与布朗运动不能区分的行为；“失之毫厘，差之千里”的对初值细微变化的敏感依赖性，使得确定论系统必须借助概率论方法描述。这就是混沌。－－－郝柏林2004.5混沌电子学讲座混沌的概念（3）——混沌定义的要素•混沌定义的要素·确定论——摆的运动是一个混沌运动·随机论·非线性·确定论中的随机轨道是混沌轨道的特例，即其中近似重复图式的长度为1－－郝柏林•混沌是一种新的动力学的观点·混沌企图，也有可能消除确定论和随机论之间的鸿沟·20世纪科学将永远记住的三件事将是相对论、量子力学和混沌－－M.Shlesinger·相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定式可预测性的幻想——J.Ford2004.5混沌电子学讲座混沌的概念（4）——混沌的特征•叠加原理对非线性系统不再适用•确定论系统的行为处于混沌状态时似乎是随机的，与噪声混杂在一起•实际系统的不可预测性·使用实际的仪器测量初始条件只能是近似的·混沌对初始条件的敏感的依赖性•非线性系统建模的困难——仅有少数的数学模型•简单的映射系统具有混沌普适的性质•混沌现象具有次序•短期预报和控制的可能性2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌（1）——虫口模型•昆虫数目变化的数学模型（虫口模型）xn+1＝axn(线性差分方程）其中，xn为第n年的虫口数目，a为每只成虫平均产卵的数目,xn+1为第（n＋1）年的虫口数目。用x＝Aeλt代入，可解得xn＝x0an；其中，x0为起始年虫口的数目。•虫口模型的修正虫子之间的咬斗会造成xn只虫子的减员，此类事件的总数为xn(xn+1)/2xn2（xn1）则修正后的虫口模型为xn+1＝axn－bxn2此方程为虫口数目的演化方程，是一个抛物线方程，该方程很难有解析解。2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌（2）——虫口模型的等价形式•虫口模型演化方程迭代的实质虫口数目的演化方程实质上是反复使用抛物线的函数关系y＝ax－bx2进行迭代。•抛物线方程的拓扑等价y＝ax－bx2的拓扑等价方程为y＝1－μx2相应的演化方程为xn+1＝1－μxn2其中μ隐含着成虫平均产卵的数目。研究抛物线演化方程，除了研究其迭代外，还要研究μ变化对虫口数目的影响•单峰映射和抛物线映射为同一个拓扑等价类•虫口模型或抛物线映射的研究，具有拓扑等价意义上的普适性2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(3)——抛物线映射的研究方法•混沌分类•瞬态混沌系统处于瞬态时的混沌行为•空间混沌无穷维动力系统对初值和边界条件都有敏感性•时空混沌无穷维动力系统在时间和空间上都有混沌行为•随机混沌随机非线性系统（非确定性系统）产生的混沌行为•一般混沌研究对长期或短期行为的预报感兴趣，所以只研究瞬态之后出现的混沌•迭代作图虫口数目可以用简单的计算机程序来计算。为形象化地说明问题，可以用线段映射的方法作图来表示•轨道（轨线）由上作图，可以得到轨道x0，x1，…，xi，xi＋1，…，其中，xi称为轨道点2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——不动点和周期轨道•不动点（平衡点/奇点）•xi＝x*（任意i≥N)在某次迭代后，轨道点xi不再变化，则称x*为不动点•从物理上讲，不动点是动力系统的平衡点•从数学上讲，不动点是动力学方程的奇点•周期轨道•xN，xN＋1，…，xN＋p－1xN＋p，xN＋p+1，…，xN＋2p－1•上述两列各轨道点的值完全相同，且上一列最后一个轨道点与下一列的第一个相邻；所有的轨道点按上述规律无限循环•轨道点的个数即是周期数；如上述一列中的个数为4，则称该轨道为周期4轨道•周期1轨道就是不动点2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——准周期轨道和随机轨道•准周期轨道**对于某个xi的轨道点，迭代一定的次数(周期）后，轨道点就回到xi附近，但是不会等于xi；等到下一个循环，轨道点再次回到xi，而且更加接近xi**如此周而复始，轨道点会随循环次数的增多，逐渐地逼近xi**这种看似周期轨道，却不是严格的周期轨道，称为准周期轨道•随机轨道**轨道点完全随机**此处的随机是在确定性动力系统中，由非线性产生2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)—混沌轨道、相空间和相图•混沌轨道**在有限长的轨道点中，有某些近似的重复图式或“结构”**用该有限长为单位考察整个轨道时，该有限长的出现为随机的**当该有限长轨道点个数为1时，混沌轨道即为随机轨道**混沌轨道对初值极为敏感•相空间和相图**扩展相空间动力系统方程组所对应的矢量空间**相空间去除时间t后的矢量空间**流动力系统方程组解曲线实体（2维空间为曲面，3维空间为曲体）**相图流中某一个解曲线（对应于某个初值）在相空间的轨迹**抛物线的迭代轨道离散相空间的相图2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——分岔图•分岔图研究的必要性•抛物线方程xn+1＝1－μxn2中μ的意义**成虫每年平均产卵的数目**动力系统的参数•参数μ的变化，将极大地影响轨道的变化•分岔图及其特点**把相空间和参量空间联合起来组成平面图，考察轨道行为**分岔图中有分岔点、暗线和周期窗口等丰富的结构2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——分岔图结构（1）•周期稳定区/混沌区**Feigenbaum（F点）左边/右边**Feigenbaum常数＝1.40115518909295…•分岔点周期变化之间的交叉点•超稳定轨道------映射复合函数的导数在轨道中每一个轨道点处的值＝0-----图中周期2、周期4等都是超稳定轨道•超稳定轨道稳定范围两分岔点之间的参数值•倍周期分岔序列(Feigenbaom常数F点的左边)1-2-4-8-16-…-2n-无穷•结论倍周期稳定区间越来越小参数值越来越接近F点的常数2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——分岔图结构（2）•混沌带•F点右边的区域黑色的部分•I-H部分为1带混沌区•H-G部分为2带混沌区•G-F部分为4带以上的混沌区•混沌带倍周期合并序列(Feigenbaom常数F点的右边)无穷-…-2n-…-16-8-4-2-1•结论•混沌带倍周期合并序列持续区间越来越小•倍周期混沌带合并序列的收敛速率与倍周期分岔序列的收敛速率相等2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——分岔图结构（3）•暗线•以迭代相应的映射函数的导数等于0的点作初值，每一次迭代的方程在相——参空间的曲线•可以描述动力系统不稳定的不动点•周期窗口•混沌区中白的竖条•周期窗口较为复杂，需要符号动力学使用揉序列来计算，或是使用动力系统的功率谱来观察•最右边的最宽的白竖条为周期3窗口2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——切分岔与阵发混沌•周期3窗口（切分岔）特征•3带（上、中、下）•混沌自相似现象（每一个带都与前页的抛物线分岔图一样）•阵发混沌在μ＝1.709处，发生突变•周期3轨道机理•右下图左侧为f（3）（x,μ)的曲线；该曲线与对角线在A点相切，B点处有一条窄缝•迭代进入窄缝后，要经过若干次迭代，才可能从窄缝中穿出去•穿出去后，经过若干次在f（3）曲线其它部分的迭代，有可能再次进入窄缝，再次重复以上过程•上述过程，形成右侧上图的阵发混沌2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——Lyapunov指数•Lyapunov指数•初值相邻的轨道•在相空间按指数规律发散•用相空间体积的散度来定义Lyapunov指数•Lyapunov指数特征•0:静止•=0:周期运动•0：混沌运动•测度和熵（略）2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——奇怪吸引子•耗散系统能量不守恒的有摩擦力的系统实际的物理系统都是耗散系统•耗散系统吸引子相空间体积随时间增长不断收缩到一个区域(集合)中•奇怪吸引子•耗散系统相空间体积收缩•混沌轨道在某个方向上按Lyapunov指数发散•在相空间体积收缩的同时，相空间轨道无穷折叠、扭曲和拉伸，构造出一种复杂的几何图像，即奇怪吸引子（如图）•奇怪吸引子特征•图形镜像或对称•局部与整体有自相似结构•其中的轨道永远不相交和重复（区别于周期轨道）•与Lyapunov指数密切相关•奇怪吸引子=混沌2004.5混沌电子学讲座抛物线映射及混沌(4)——通向混沌的道路•倍周期分岔通向混沌的道路•切分岔通向混沌的道路（阵发混沌道路）•N＋1周期增加通向混沌的道路2004.5混沌电子学讲座混沌电子学的概念(1)——历史（1）•混沌电子学形成•80年代初，电子学界开始关注非线性电路系统的动力学行为•出现了模拟各种物理系统的非线性电路•Chua电路历史（1）•1983年前LeonO.Chua（蔡绍棠）给出了Chua电路的原型•1983年T.Matsymoto给出了Chua电路的计算机模拟结果，并命名为Chua电路•1984年G.Q.Zhong和F.Ayrom给出了第一个混沌实验结果•1984年继Zhong和Ayrom后，T.Matsymoto，给出了第二个Chua电路的实验结果，该实验电路由Tokynaga设计•1985年M.Komuro和T.Matsymoto研究组的学生给出了chua电路的分岔图（图17，20，22由艺术家画出）•Chua混沌电路已经成形，但是没有得到理论的证明2004.5混沌电子学讲座混沌电子学的概念(1)——历史（2）•Chua电路历史（2）•1986年M.Komuro等人给出了Chua电路满足Shilnikov定理的证明，但该证明没有给出Chua电路的双螺旋吸引子就是混沌吸引子的结论•1990年L.O.Chua和G.N.Lin给出了Chua电路在连续的奇对称线性矢量场中的C*类电路（动力学等效电路）•1993年V.N.Belykh和L.O.Chua在2维几何图形上给出了双螺旋吸引子就是混沌吸引子的证据•历经10年，Chua电路以其最简的形式，从实验和理论上，得到了确认和普遍的认可•在最近的10年中，Chua电路被广泛地使用在各种混沌应用中2004.5混沌电子学讲座混沌电子学的概念(2)——稳定和不稳定的不动点（1）•不动点定义•离散系统：抛物线轨道点不变，即xi＝x*•连续系统：对自治系统dx/dt＝f(x)，令f(x*)＝0，即dx/dt不变化，则x*是不动点•不动点稳定性判断方法•Lyapunov第一近似方程将f(x)泰勒展开，略去高次项，得到线性方程dx/dt＝Ax其中，A＝Dxf(x0)为在x＝x0处Jacobi矩阵的值•不动点稳定性判断方法可以根据Dxf(x0)本征值实部和虚部的不同情况，来判断不动点的稳定性2004.5混沌电子学讲座混沌电子学的概念(2)——稳定和不稳定的不动点（2）•二维动力系统不动点的稳定性（1）•二维系统动力学近似方程最后一行为二维系统动力学方程的特征根方程•结点特征根为实数且同号•稳定结点同号为负,收敛（汇结点）•不稳定结点同号