反比例函数与几何综合

一、反比例函数的定义函数kyx（k为常数，0k）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx与kyx（0k）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象是双曲线；当0k时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx（0k）的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x，即0x或0x的缘故．如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)kykx中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k的几何意义过反比例函数0kykx，图象上一点Pxy，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积Sxyxyk.一、反比例函数与几何综合【例1】如图，11POA、212PAA都是等腰直角三角形，点1P、2P在函数4yx(0x)的图像上，斜边1OA、12AA、都在x轴上，求点2A的坐标.A2A1P2P1Oxy【巩固】如图所示，111222PxyPxy，，，，……，nnnPxy，在函数90yxx的图象上，11OPA，212PAA，323PAA，…，1nnnPAA，…都是等腰直角三角形，斜边1121nnOAAAAA，，…，都在x轴上，则12nyyy…______________．【例2】如图，如果函数yx与4yx的图像交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，求BOC的面积.yxOCBA【巩固】如图，一次函数ykxb的图像与反比例函数myx的图像交于(21)(1)ABn，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB的面积．yxOBA。。。。。A2A1P2P1OxyCBAOxy【例3】如图，直线ykxb与反比例函数0kyxx′的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为24，，点B的横坐标为4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC的面积．【巩固】如图，在直角坐标系xOy中，一次函数1ykxb的图像与反比例函数2kyx的图像交于143ABm，，，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求AOB的面积．B(3,m)A(1,4)xyO【例4】两个反比例函数kyx和1yx在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx的图象上，PCx轴于点C，交1yx的图象于点A，PDy轴于点D，交1yx的图象于点B，当点P在kyx的图象上运动时，以下结论：①ODB与OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．y=kxPBy=1xxyOCDA【巩固】如图，点A、B在反比例函数kyx(0k)的图象上，且点A、B的横坐标分别为a和2a(0a)ACx轴，垂足为C，AOC的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(a，1y)，(2a，2y)也在反比例函数的图象上，试比较1y与2y的大小；（3）求AOB的面积．xyOCBA【例5】已知：在矩形AOBC中，4OB，3OA．分别以OBOA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与BC，重合），过F点的反比例函数(0)kykx的图象与AC边交于点E．（1）求证：AOE△与BOF△的面积相等；（2）记OEFECFSSS△△，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF△沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．xyFECBAO【巩固】两个反比例函数1kyx和2120kykkx在第一象限内的图象如图所示，动点P在1kyx的图象上，PCx轴于点C，交2kyx的图象于点A，PDy轴于点D，交2kyx的图象于点B．⑴求证：四边形PAOB的面积是定值；⑵当23PAPC时，求DBBP的值；⑶若点P的坐标为52，，OABABP，的面积分别记为OABS、ABPS，设ABPOABSSS．①求1k的值；②当2k为何值时，S有最大值，最大值为多少？y=k2xy=k1xPDyxOCBA【例6】如图，反比例函数8yx的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，:2:1OAOC．（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；（2）若直线2yxm平分矩形OABC面积，求m的值．yxOCBA【巩固】如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx(0k，0x)的图像上，点P(m，n)为其双曲线上的任一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．⑴求B点的坐标和k的值；⑵当92S时，求P点坐标；⑶写出S关于m的函数关系式．PSFEOCBAyx【例7】若一次函数21yx-和反比例函数2kyx的图象都经过点（1，1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点AOBP，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．【巩固】如图，点1Amm，，31Bmm，都在反比例函数kyx的图象上．（1）求mk，的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点ABMN，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．yxOBA【巩固】已知(1)Am，与(233)Bm，是反比例函数kyx图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点(10)C，，则在反比例函数kyx图象上是否存在点D，使得以ABCD，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．yxBA-111-1C【例8】如图，已知反比例函数12yx的图象和一次函数7ykx的图象都经过点2Pm，．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD的顶点AB，在这个一次函数图象上，顶点CD，在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和2a，求a的值。FEPDyxOCBA【例9】反比例函数2kyx和一次函数21yx，其中一次函数图像经过ab，，1abk，两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求出两函数的交点A的坐标．在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知反比例函数12kyx的图象与一次函数2ykxb的图象交于AB，两点，1122AnB，，，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【例10】已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为333，，点B的坐标为60，．（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB，请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；（2）若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数63yx的图像上，求a；（3）若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转度(090)．当=30时点B恰好落在反比例函数kyx的图像上，求k的值．1.将直线yx向左平移1个单位长度后得到直线a，如图，直线a与反比例函数10yxx的图象相交于A，与x轴相交于B，则22OAOB_____________．－6OBxyAyxABOa2.如图，P是函数12yx(0x)图象上一点，直线1yx交x轴于点A，交y轴于点B，PMOx轴于M，交AB于E，PNOy轴于N，交AB于F.求AFBE的值.EFPNBMAxyO3.已知点(1，3)在函数kyx(0x)的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数kyx(0x)的图像经过A、E两点，若45ABD，求E点的坐标.EDCBAOxy4.过原点作直线交双曲线kyx(0k)于点A、C，过A、C分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示．⑴已知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；⑵若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．5.正比例函数ykx(0k)与反比例函数1yx的图象相交于A、C两点，过A作ABx轴于B，连结BC，若ABC的面积为S，求S．CBADxyO6.已知图中的曲线是反比例函数5myx（m为常数）图象的一支．⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？⑵若该函数的图象与正比例函数2yx的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．Oyx7.如图，已知RtABC的顶点A是一次函数yxm与反比例函数myx的图像在第一象限内的交点，且3AOBS．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DEx轴于E，那么ODE的面积与AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．OECBxAyD8.如图，点A(m，1m)，B(3m，1m)都在反比例函数kyx的图象上．（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．BAOyx