高等代数与解析几何复习题

1高等代数与解析几何复习题第一章矩阵一、填空题1.矩阵A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是。2.设(),(),ijmsijsnAaBb又()ijmnABc，问ijc。3.设A与B都是n级方阵，计算2()AB,2()AB,()()ABAB。4.设矩阵1234A,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和。（注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X,(2,1,3)TY,201013122A,计算XAY。6.设向量1,2,3,(1,1,1)T，则，。7.设矩阵2003A，则100A。8.设矩阵200012035A，则1A。9.设准对角矩阵1200AAA,()fx是多项式，则()fA。10.设矩阵123456789A，则A的秩()RA。11.设*A是n阶方阵A的伴随矩阵,dA,则AA。12.设*A是矩阵A的伴随矩阵，则**_____________.AAAA13.矩阵123235471A的秩为__________，A的伴随矩阵*A=。14.设A是3阶可逆方阵，B是34矩阵且()2RB，则()RAB。215.设102040203A，B是34矩阵且()2RB，则()RAB。16.试写出n阶方阵A可逆的几个充分必要条件（越多越好）。17.设矩阵123235471A，试写出行列式A中(2,1)-元的代数余子式，A中第三行元素的代数余子式之和=。18.设B是34矩阵且()2RB，则B的等价标准形为。19.设()mnRAn，则A的等价标准形为。20.设1211A，2()2fxx，则()fA。21.设120120135225A，则A的等价标准形为。22.设1200340000340057A，则1A。23.000000000000abcd。24.已知矩阵A满足2230AAE，则1A。25.设n阶矩阵A可逆，则*A。26.试写出矩阵秩的定义。27.试写出n阶行列式按第一列展开的定义。28.已知四阶行列式D中第三列元素依次为1,2,0,1，它们的代数余子式依次分别为5,3,7,4，则D=_______。29.已知CBA,,为同阶方阵,且C可逆,若BACC1,则CACm1(m是整数)。30.设DCBA,,,均为n阶方阵，且EABCD，则________________)()(TTDABC。331.设CBA,,均为n阶方阵，且EABC，则______________)(TTCAB。32.若A，B都是n阶方阵，1A，3B，则_____________31*BA。33.设矩阵123200749A,则A1______________。34.设1213011423412130A,则31323334AAAA,31323334MMMM,3132333423AAAA。35.10n,cossinsincosn。36.设3阶方阵A的第一行和第三行交换后得矩阵B,B的第一行的2倍加到第二行得矩阵C,于是存在矩阵P使得PAC,则P。37.以3阶方阵为例，写出三类初等矩阵及其逆矩阵。38.已知准对角矩阵12AOAOA可逆，则1A。39.已知矩阵,AB的秩分别为2,1，则分块矩阵AOOB的秩=。二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）1.设矩阵,AB满足ABO，则AO或BO。2.矩阵乘法适合交换律。3.设,AB是n阶方阵，则22222()2,()()ABAABBABABAB。4.设,,ABC是同阶方阵，若ABAC，则BC。(若A可逆，该结论如何？)5.设12,是方程组AX的解，则12是AX的解，12是0AX的解。6.设12,是线性方程组0AX的解，则12是0AX的解。7.设12,是线性方程组AX的解，则12(1)kk是AX的解，k是任意常数。48.矩阵010100001可逆，且其逆为其本身。类似有100030001，102010001同样问题。9.设A是n阶矩阵，则kAkA。10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）11.若方阵A可逆，则其伴随矩阵*A也可逆。12.n阶方阵A满足220AAE，则EA可逆。13.若20A，则必有0A。14.设A是n阶方阵，且0Aa，则*11AAa。15.方阵A满足AA2，则EA或0A。16.设A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则BA可逆。17.若矩阵A的秩为r，则A中必有某一个1r阶子式不等于零。18.若n阶方阵A的秩()1RAn，则其伴随阵*0A。19.设A是n阶方阵，则1*nAA。20.方阵的初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值。21.设A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则AB可逆，且其逆为11AB。22.设A,B都是n阶方阵,则ABAB。三、解答题1.求3251103111203204A，1213011423412130，0111123023411241，2111121111211112。2.求ababDbabaabab。3.已知矩阵311412A，131210131B，计算AB,TABAB。4.设3阶方阵A的伴随矩阵为A，且21A，求AA2)4(1。5.已知1010212000101111A，求逆阵1A。56.设121310102A,试用矩阵初等行变换法求A的逆矩阵.7.设11101111101111,00200010002001AB。试用矩阵分块方法求,TBAB。8.用两种方法求下列矩阵的逆012211234,001479100AB.9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积111213212223313233100100111001020010010001001aaaaaaaaa10.写出下列矩阵的等价标准形21111121,4622374313213110111110213120，111111112kkk（对k讨论）11.设矩阵1112312536A的秩为2，求，。12.求解线性方程组（1）12312312323231249xxxxxxxxx；（2）1234123412341234222225234237517xxxxxxxxxxxxxxxx。13.设100111A，124142B，求TBA。14.设A是n阶方阵,且2A,求AA231,其中*A是A的伴随矩阵。15.设矩阵1(1,1,1),21AB.多项式42()1fxxxx，求,()nABBA及()fBA。16.设A是mn矩阵，将A按列分块计算,TTAAAA。617.设n阶方阵A满足234AAEO,证明AE可逆，并求其逆。18.设4阶矩阵1231(,,,)A,1223(,,,)B，且2,6AB,求行列式321112,,,C。19.求矩阵方程AXB,其中21323113,1321493AB。20.求n级行列式abbbbabbDbbabbbba的值.21.设A=122222222222322222122222nn，求A的行列式.22.求行列式2123121000100001nnnnnnhhxhhxhxhDhxhxhxhhxhxhxhxh的值.23.计算行列式111212122212nnnnnnababababababababab.四、课程讲义习题一中如下题目：2,14,17(2),21,23,27,28,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,41,42,43,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,6,66,69.7第二章线性方程组一、填空题1.试写出线性方程组AX有解的一个充分必要条件。2.设A是n阶方阵，且秩()Arn，则齐次线性方程组0Ax的基础解系中含个解向量。3.方程组12341234233207230xxxxxxxx的基础解系中含个解向量。4.设12,是(3)nn元齐次线性方程组0Ax的基础解系，则秩(A)=。5.矩阵nmA的秩为r，则0AX的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。6.若方程组1231001110020xxx有非零解，则0或。7.设A是n阶方阵,若线性方程组0AX有非零解,则必有A。8.设A是n阶方阵,2nAR,则线性方程组0AX的基础解系所含向量的个数是。9.1(1,3,5),2(1,1,3),3(1,,6)a线性相关,则a的值为__________。10.若向量(2,3,1,0,1)与(4,6,2,,2)a线性相关，则a的取值为。11.设向量组1(1,2,3)，2(2,1,3)，3(1,1,0),则向量组123,,的秩是。12.设向量组I：1,,r的秩为p，向量组II：1,,s秩为q，且向量组I能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是_________________。13.设向量组I:1,,s线性无关，而12,都能由I线性表出，则秩(112,,,,s)=。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定。15.一个向量线性相关的充分必要条件为。16.两个非零向量线性相关的充分必要条件为。17.设n阶方阵A满足2AA,则()()RARAE。18.设n阶方阵A满足2AE,则()()RAERAE。二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）1.n元线性方程组(0)Axbb当()RAn时有无穷多解。2.设A是n阶方阵,若方程组bAX满足),()(bARAR,则bAX有唯一解。83.对于线性方程组Axb(这里A为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有()RAn。4.3维向量组1234,,,必线性相关。进一步，若mn，则m维向量组1,,n必线性相关。5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组12,,,s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。7.包含零向量的向量组是线性相关的。8.n维向量组s,,,21与n维向量组s,,,21秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。9.若两个非零向量构成的向量组线