大学课件 高等数学下册 7-3

第七章多元函数微分学第三节全微分及其应用一、全微分的定义.)()()()(0000的微分在称为其中可表示为量处可微，是指函数的增在一元函数xfxAxoxAxfxxfyxxfy.),(),(),(),(000000可否有类似的表达式的增量在二元函数yxfyyxxfzyxyxfz如果函数),(yxfz在点),(00yx的全增量),(),(0000yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中BA,不依赖于yx,而仅与00,yx有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(00yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(00yx的全微分，记为dz，即yBxAdzyyxx00或.),(00yBxAyxdf全微分的定义函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分..0,00,1sin)(),(122222222在原点可微证明函数例yxyxyxyxyxyxf对照一元函数的微分,y=f(x),若y=Ax+0(x)则dy=Ax=f'(x0)·x.自然会提出以下问题.(1)若z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,微分式dz=Ax+By中系数A,B如何求,是否与z的偏导有关?(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中,可微连续,对二元函数是否也对?定理1（可微分的必要条件）如果函数),(yxfz在点),(yx可微分,则函数在该点连续.证),(oyBxAz,0lim0z),(lim00yyxxfyx]),([lim0zyxf),(yxf故函数),(yxfz在点),(yx处连续.二、可微的条件根据全微分的定义定理2（可微分的必要条件）如果函数),(yxfz在点),(yx可微分，则该函数在点),(yx的偏导数xz、yz必存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为yyzxxzdz．证如果函数),(yxfz在点),(yxP可微分,),(yyxxPP的某个邻域)(oyBxAz总成立,当0y时，上式仍成立，即有（此时||x,）),(),(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0,xz同理可得.yzB一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处有0)0,0()0,0(yxff])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点),(yxP沿着直线xy趋近于)0,0(，则220)()(limyxyxxy220)()(limxxxxx,21说明它不能随着0而趋于0,0当时，),(])0,0()0,0([oyfxfzyx函数在点)0,0(处不可微.说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理3（可微分的充分条件）如果函数),(yxfz的偏导数xz、yz在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分．证),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf)],,(),([yxfyyxf),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx1),(（依偏导数的连续性）且当0,0yx时，01.其中1为yx,的函数,xxyxfx1),(yyyxfy2),(z2121yx,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy当0y时，02,习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在例2计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.2|22)1,2(dyedxedz所求全微分例3求函数)2cos(yxyz，当4x，y，4dx，dy时的全微分.解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82例4计算函数yzeyxu2sin的全微分.解,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例5试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论.证令,cosx,siny则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx1sincossinlim200),0,0(f故函数在点)0,0(连续,)0,0(xfxfxfx)0,0()0,(lim0,000lim0xx同理.0)0,0(yf当)0,0(),(yx时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy当点),(yxP沿直线xy趋于)0,0(时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,||21cos||22||21sinlim330xxxxxx不存在.所以),(yxfx在)0,0(不连续.同理可证),(yxfy在)0,0(不连续.)0,0(),(fyxff22)()(1sinyxyx由于），0(0||)()(])0,0()0,0([)()(1sin2222xyxyfxfyxyxyx即有故),(yxf在点)0,0(可微.0)0,0(df)(),(),(0000oyyxfxyxffyx１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）三、小结函数),(yxfz在点),(00yx处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点),(00yx处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy在点),(00yx的某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx),(),(，当0)()(22yx时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx,当0)()(22yx时是无穷小量.思考题