大学课件 高等数学下册 7-5

第七章多元函数微分学第五节隐函数求导法0),(yxF方程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数),(yxF满足：（1）0),(00yxF，（2）在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，（3）且，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件0))(,()(00xfxFxfy及，并有yxFFdxdy.隐函数的求导公式例１　验证方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0x时1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在0x的值.解令1),(22yxyxF则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依定理知方程0122yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0x时1y的函数)(xfy．函数的一阶和二阶导数为yxFFdxdy,yx,010yxdxdy222)(yyxydxyxddxyd2yyxxy,13y.11022yxdxyd.广到多个变量的情形隐函数的求导方法可推),,,,(,,,0),,,,(212121nnnxxxzzxxxzzxxxF的可微隐函数是确定了设方程zxnzxzxFFxzFFxzFFxzn,,,2121则有解1利用公式令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFzzxFFxz22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz,2zxxzx2两边对x求偏导例2设04222zzyx，求22xz.解2将方程两边关于x求导，并注意z是x,y的函数，0422xzxzzxzxxz220422xz2)(1xz再对x求导例3设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.思路：把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz，把x看成yz,的函数对y求偏导数得yx，把y看成zx,的函数对z求偏导数得zy.解1用公式法).,(),,(xyzzyxfzzyxF令xxxyzfzyxf)()(21).(21fzxf),(21fzyfxxxyzzyxfzF)),((yyxyzzyxfzF)),((yyxyzfzyxf)()(21zzxyzzyxfzF)),((zzxyzfzyxf)()(121).(121fxyf于是，zxFFxz.12121fxyffyzfxyFFyx.2121fyzffxzfyzFFzy.12121fxzffxyf把z看成yx,的函数对方程两边关于x求偏导数得xz)1(1xzf),(2xzxyyzf整理得xz,12121fxyffyzf把x看成yz,的函数对方程两边关于y求偏导数得)1(01yxf),(2yxyzxzf解2整理得,2121fyzffxzfyx把y看成zx,的函数对方程两边关于z求偏导数得)1(11zyf),(2zyxzxyf整理得zy.12121fxzffxyf0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF二、方程组的情形),,(),,(yxvyxu设方程组确定函数的偏导数？如何求),(),,(yxvyxu下面推导公式：0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF).,(),,(yxvvyxuu确定了即0)],(),,(,,[0)],(),,(,,[yxvyxuyxGyxvyxuyxF上述方程组等式两边对x求导，00xvGxuGGxvFxuFFuuxvuxxuuxvuGxvGxuGFxvFxuF现xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF这是关于xvxu,的二元线性方程组。vuvuGGFF,0方程组有唯一解。当系数行列式解此方程组，得到,vuvuvxvxGGFFGGFFxu,vuvuGGFF),(),(vuGFxuxuGGFF),(),(xuGF.vuvuxuxuGGFFGGFFxv通常把由函数组关于某些变量的导数组成的行列式称为函数行列式或雅可比行列式，记作类似，对0)],(),,(,,[0)],(),,(,,[yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对y求导，得关于yvyu,的线性方程组。解方程组得yu.),(),(),(),(vuGFvyGFyv.),(),(),(),(vuGFyuGF特别地，方程组0),,(0),,(zyxGzyxF且可以确定函数),(),(xzzxyy,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy.),(),(),(),(zyzyxyxyGGFFGGFFzyGFxyGFdxdz例1设.432,50222zyxzyx.,dxdzdxdy求解1：令,050),,(222zyxzyxF.0432),,(zyxzyxG则zyzyGGFFzyGF),(),(,2xFx,2yFy,2zFz,1xG,2yG.3zG3222zy.46zyzxzxGGFFzxGF),(),(3122zx.26zxxxxxGGFFxyGF),(),(.42xy1222xy),(),(),(),(zyGFzxGFdxdyzyzx4626),(),(),(),(zyGFxyGFdxdz,233zyxzzyxy4642,232zyyx时，当046),(),(zyzyGF.432,50222zyxzyx解2：方程两端对x求导。.0321,0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx注意：),(xyy).(xzz即得.132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy时，当023zy解得dxdydxdz,233zyxz.232zyyx例5.00,,,0),(0),,(),()(dxduygzhhgfzxhzyxgyxfuxu，求，都可微，且所确定，其中由方程组设函数解的函数．都看成是以及将方程组的变元xzyu,得求导方程组各方程两边对,x)3(.0)2(,0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz得由,)2(yxzyxzgghghgdxdy得代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu得代入（分以下几种情况）隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF0),,,(0),,,()3(vuyxGvuyxF三、小结已知)(zyzx，其中为可微函数，求?yzyxzx思考题思考题解答记)(),,(zyzxzyxF,则zFx1，,1)(zzyFy,)()(22zyzyzxFz,)(zyyxzFFxzzx,)()(zyyxzyzFFyzzy于是zyzyxzx.