大学课件 高等数学下册 7-6

第七章多元函数微分学第六节方向导数与梯度讨论函数在一点P0沿某一方向的变化率问题．),(yxfz一、方向导数．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz00000)(),(),().0(),(}cos,{cos00tetPPPUPlPlell则上的另外一点，且是直线向的单位向量，点同方为与记（如图）P0Plle)cos,cos(,||000tytxPtPP点的坐标可表示为实际上tyxfytxft),()cos,cos(lim00000,),()cos,cos()()(||0000000tyxftytxftPfPfPPzPPl段的平均变化率方向沿射线考虑时，考虑方向趋于沿射线当0PlP,)(),(),(100000lPPUyxPyxf为始点引射线内有定义，以的某领域在点设函数定义若极限即且上的另外一点，是直线同方向的单位向量，点为与).0(),(00tetPPPUPlPlltyxftytxft),()cos,cos(lim00000.0lflP数，并记为的方向导沿方向数在点存在，则称这极限为函}cos,{cosle记依定义，函数),(yxf在点P沿着x轴正向}0,1{1e、y轴正向}1,0{2e的方向导数分别为yxff,；沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,.沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,..)0,0(),(122及两个偏导数任一方向的方向导数以处沿在点研究二元函数例yxyxf解的方向导数为处，沿任一方向在点l)0,0()0,0(lftfttft)0,0()cos,cos(lim0tttt0)cos()cos(lim220ttt220)(cos)(cos||lim.1lim0ttt时，由于在求)0,0(xf不存在，xxxfxfxx||lim)0,0()0,(lim00.)0,0(不存在所以xf.)0,0(不存在类似可得yf定理如果函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有coscosyfxflf，其中cos,cos为方向L的方向余弦．证增量处可微，可知函数的全在由),(),(00yxyxf))()((),(),(),(),(2200000000yxoyyxfxyxfyxfyyxxfyx上时，应有线为始点的射在以当点lyxPyyxxP),(),(00000tyxtytx22)()(,cos,cos所以tyxftytxft),()cos,cos(lim00000.cos),(cos),(0000yxfyxfyx即得.coscos)()()(000000yxyxyxyfxflf例2求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解故l的方向余弦是：21cos,21cos.;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所求方向导数cos2cos1lz.22这里方向l即为}1,1{PQ,对于三元函数),,(zyxfu，它在空间一点),,(000zyxP沿着方向}cos,cos,{cosle的方向导数，可定义为,),,()cos,cos,cos(lim00000000tzyxftztytxflftP推广可得三元函数方向导数的定义同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有.coscoscoszfyfxflf设方向L的方向角为,,定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.二、梯度的概念?:最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题Pcoscosyfxflf}cos,{cos},{yfxfeyxgradf),(,cos|),(|yxgradf其中)),((,eyxgradf当1)),,(cos(eyxgradf时，lf有最大值.设jiecoscos是方向l上的单位向量，由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf.结论三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradf类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数例4求函数yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度.解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu),,(,6)24()32(kzjyix故.1225)2,1,1(kjigradu例5设函数,2zxyu试问：函数在点)2,1,1(0P处沿哪个方向的方向导数为最大？最大的方向导数值是多少？1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结.),(最快的方向在这点增长梯度的方向就是函数yxf　讨论函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题xfxfxzx)0,0()0,(lim0)0,0(.||lim0xxx同理：)0,0(yzyyy||lim0故两个偏导数均不存在.思考题解答沿任意方向},,{zyxl的方向导数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz1)()()()(lim22220yxyx故沿任意方向的方向导数均存在且相等.