大学课件 高等数学下册 7-7

第七章多元函数微分学第七节偏导数的几何应用1.设空间曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM,000zzzyyyxxx的方程为割线，因此的方向向量为割线MMzyxMM},,{,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT},,{)(,)(,)(000dzdydxdttdttdttdtT或法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即2.空间曲线方程为,)()(xzxy)}(),(,1{},,1{,),,(00),(00000xxdxdzdxdyTzyxMyx切向量为处在,)()(100000xzzxyyxx.0))(())(()(00000zzxyyxxx法平面方程为切线方程为例2.),,(200022处的切线及法平面方程上一点，求在曲线zyxxmzmxy3.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF1方法线方程种情形的结论，即得切再由第，、方程组中求出可由隐函数求导法，从2)()(xzxy,)()(100000xzzzxyyyxx和法平面方程.0))(())(()(00000zzxzyyxyxx也可直接用求导公式：的求导公式为确定的函数方程)(),(0),,(0),,(xzzxyyzyxGzyxF,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy.),(),(),(),(zyzyxyxyGGFFGGFFzyGFxyGFdxdz的切向量可取因此曲线在),,(0000zyxM切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx法平面方程为.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy0,,MyxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT方法2求微分，得对方程0),,(0),,(zyxGzyxF00dzGdyGdxGdzFdyFdxFzyxzyx},,{},,{21zyxzyxGGGnFFFn，记},,{dzdydxT切向量,0021TnTn则上面方程即为21//nnT故可取切向量例3求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz解2将所给方程的两边求微分，得00222dzdydxzdzydyxdx00242)1,2,1(dzdydxdzdydx处，有在点，取切向量21//nnT而}606{11124221，，kjinn故可取切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx1.设曲面方程为0),,(zyxF二、曲面的切平面与法线.00的切线同在一个平面上处的所有光滑曲线在上过点曲面MM引理)},(),(),({000tttT曲线在M0处的切向量证设M0(x0,y0,z0)为曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点M0的曲线,)()()(:tztytxnTM曲面方程，即有满足上，所以曲线上的点要在曲面由于曲线即有.0))(),(),((tttF.0|))(),(),((00tttttFdtdtt求导，得处关于对上式两边在0)(),,()(),,()(),,(000000000000tzyxFtzyxFtzyxFzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx引进向量即有Tn则有)(),,()(),,(00000000tzyxFtzyxFyx)(),,(0000tzyxFz0可见,Tn由于曲线是曲面上通过0M的任意一条曲线，它们在0M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过0M的一切曲线在点0M的切线都在同一平面上.通过点0M而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.垂直于曲面在点0M处切平面的向量称为曲面在点0M的法向量.定义曲面上通过0M的任意一条曲线在0M的切线所在的同一平面称为曲面在点0M的切平面.法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即所以切平面方程为))(,,())(,,(00000000yyzyxFxxzyxFyx0))(,,(0000zzzyxFz例4求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx2.空间曲面方程为),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx),(00yxffyy其中例5求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.解,1),(22yxyxf)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为,0)4()1(2)2(4zyx,0624zyx法线方程为.142142zyx例6求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx因为是曲面上的切点，),,(000zyx,121320202020xzyx所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例7证明对任意常数，球面与锥面是正交的。2222zyx,2222tgzyx即证明球面的法线方向数为0),,(2222zyxzyxFzyx2,2,2zyx,,锥面的法线方向数为0tg),,(2222zyxzyxG2tg,,zyx22020202000000tg)tg,,(),,(zyxzyxzyx在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积),,(000zyx因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。),,(000zyx例8如果平面01633zyx与椭球面163222zyx相切，求.解},2,2,6{000zyxn设切点),,,(000zyx依题意知法向量为}3,,3{32236000zyx,00xy,300xz切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020xxxxxx.2空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线三、小结