大学课件 高等数学下册 8-3

第八章重积分第三节三重积分的概念与计算问题的提出：设空间立体V的密度函数为求立体V的质量M为了求V的质量，仍采用：分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.首先把V分成n个小块V1,V2,...,Vn,Vi的体积记为iV一、三重积分的概念f(x,y,z)，其次在每个小块Vi上任取一点),,(iii则Vi的质量iiiiiVfM),,(然后对每个小块Vi的质量求和：niiiiiVfM1),,(最后，取极限niiiiiVfM10),,(lim其中}{max0的直径iniV设),,(zyxf是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区域1v，2v,,nv，其中iv表示第i个小闭区域，也表示它的体积,在每个iv上任取一点),,(iii作乘积iiiivf),,(，),,2,1(ni，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为dvzyxf),,(,三重积分的定义即dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..叫做体积元素其中dv,的平面来划分用平行于坐标面在直角坐标系中，如果.lkjizyxv则三重积记为dxdydzzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz方法1：“先一后二”法（也称为投影法）二、在直角坐标系下计算三重积分xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx如图，,xyDxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS上底曲面下底曲面,),(作直线过点xyDyx穿出．穿入，从从21zz函数，则的只看作看作定值，将先将zzyxfyx),,(,),(),(21),,(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分，有在闭区间再计算xyDyxF),(.]),,([),(),,(),(),(21xyxyDyxzyxzDddzzyxfdyxFdvzyxf,),()(:21bxaxyyxyDxy为若则dvzyxf),,(.),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意}),(),,(),(|),,{(21xyDyxyxzzyxzzyxSz可表示为于两点情形．即相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于例1设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质量M.10222222)()(dzzyxdxdydxdydzzyxMxyD10103222)33()31(dxyyyxdxdyyxxyD1013231)32(3102xxdxx解10,10:yxDxy其中223101()|3xyDxzyzzdxdydzzyxgdydxdVzyxgfedcba),,(),,(即把一个三重积分化为三个定积分的积.)()()(),,(321zgygxgzyxg量如果积分函数可分离变.)()()(),,(321dzzgdyygdxxgdVzyxgfedcba当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容易安排例2计算三重积分,xdxdydz其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解:作闭区域Ω,如图示.把Ω投影到xoy平面上，得到区域Dxy三角形闭区域OAB,直线OA,AB,OB的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以oxyzC(0,0,1)B(0,1/2,0)A(1,0,0)}10,210|,{xxyyxDxy在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面z=1-x-2y.于是21010210)21()21(xDyxDdyyxxdxdxdyyxxxdzdxdyxdxdydzxyxydxyyxxx210210|])1[(481]4322[4110432xxxdxxxx)2(411032立体体积•曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为DyxyxfVdd),(•占有空间有界域V的立体的体积为VzyxVddd例3求由曲面222yxz及22xz所围成的闭区域的体积.解由22222xzyxz,得交线投影区域,122yx}1|),{(}),(,22|),,{(22222yxyxDDyxxzyxzyxxyxy其中故dxdydz1的体积22222xyxDdzdxdyxyxyDdxdyyx)222(2210220)1(2rdrrd.32)3121(2201032drr如果积分区域界于平面z=a和平面z=b(ab)之间，且对每一个],[21ccz，对用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面zD，则三重积分的计算可化为先对x，y求二重积分，再对z求定积分，即方法2：“先二后一”法（或称截面法）dxdydzzyxf),,(zDyxOzabzDbadxdyzyxfdz),,(例4计算三重积分zdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域.解（一）zdxdydz,10zDdxdyzdz}1|),{(zyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD原式102)1(21dzzz241.xozy111zdxdydz解（二）zzydxdyzdz101010zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.xozy111例5计算三重积分dxdydzz2，其中是由椭球面1222222czbyax所成的空间闭区域.:,|),,{(czczyx}1222222czbyax原式,2zDccdxdydzzxyzozD解)1()1(222222czbczadxdyzD),1(22czabccdzzczab222)1(.1543abc|),{(yxDz}1222222czbyax原式注：由上面两个例题可知，当被积函数只是单变量,0r,20.z三、在柱面坐标系下计算三重积分的柱面坐标．就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzrrPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(rPr.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(rPrzxyzodxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzrdrdzrrfdrxyzodzdrrd如图，柱面坐标系中的体积元素为,dzrdrddvdxdydzzyxf),,(则.),sin,cos(),(),(21rzrzDdzzrrfrdrd柱面坐标系中的三重积分计算也是化为三次积分进行计算.化为三次积分时，积分限的确定是根据zr,,在积分区域中的变化范围来确定的.例如积分区域在xOy平面上的投影区域为D（用极坐标表示），且可表示为}),(),,(),(|),,{(21Drrzzrzzr例6计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解由zzryrxsincos,zrzr34222,3,1rz知交线为23242030rrzdzrdrdI.413面上，如图，投影到把闭区域xoy.20,3043:22rrzr，例7计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面,2z8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转面方程为,222zyx所围成的立体如图，:2D,422yx.222020:22zrr:1D,1622yx,824020:21zrr所围成立体的投影区域如图，2D1D,)()(21222221dxdydzyxdxdydzyxIII12821DrfdzrdrdI,34522222DrfdzrdrdI,625原式I345625336.82402022rdzrrdrd22202022rdzrrdrd例8设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体,其下底面在xoy平面上,上顶面在平面x+y+z=3上,侧面为圆柱面x2+y2=1.求其质量m.解:设密度函数ρ(x,y,z)=μ,积分区域为截头圆柱体,我们采用柱面坐标来计算,Ω在xoy平面的投影D为圆x2+y2≤1.在极坐标下，x+y+z=3x2+y2=1333zxy}10,20|),{(rrD).sin(cos3)(3ryxz顶面方程为：3)]sin(cos3123[)]sin(cos3[2010220)sin(cos301020ddrrrddzrdrddzrdrddvMr所以}10,20),sin(cos30|),,{(rrzzr为：在柱面坐标下二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点，，这样的三个数面上的投影，在为点这里的角，段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设MxoyMPOPxzzOMMOMzyxM),,(Pxyzo),,(zyxMzyxA.cos,sinsin,cossinzyx球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),,(zyxMzyxA.,,zPMyAPxOA则，轴上的投影为在设点AxP,0.20,0规定：为常数为常数为常数如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．dxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2dddf球面坐标系中的体积元素为,sin2ddddvdxyzod如图，sindsinddd例9计算dxdydzyxI)(22，其中是锥面222zyx，与平面az)0(a所围的立体.解1采用球面坐标az,cosar222zyx,4,20,40,cos0:ardxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sinda)0cos(51sin255403.105a解2采用柱面坐标,:222ayxDdxdydzyxI)(22aradzrrdrd2020adrrar03)