大学课件 高等数学下册 9-1

第九章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分一、问题的提出实例1:密度为的曲线形构件的质量oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.长度密度M匀质之质量分割,,,,121insMMM,),(iiis取.),(iiiisM求和.),(1niiiisM取极限.),(lim10niiiisM近似值精确值),(yx实例2:柱面的面积..),(),(ALyxyxhLxOyz的面积下面来求变量是，度的柱面的一部分，其高线平面上曲轴，准线为是母线平行于设分割,,,,121insMMM,),(1iiiiMM弧段任取.),(iiiishA求和.),(1niiiishA取极限.),(lim10niiiishA近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设1.定义oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.),(lim),(,),(,),(,,010niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量.),(LdsyxM柱面的面积.),(LdsyxhA2.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf注意：)(,)(.121LLLL是分段光滑的或若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数4.性质.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL5.几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积)(:xyyL准线Oxyz),(yxfz,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsyIdsxI曲线弧的重心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx三、对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设证明上取一列点在至依次由上对应的点时，变至由假设参数LBAyxMLt.),(,,,,,,1210BMMMMMAnn加的参数值它们对应于一列单调增,1210nnttttt),,2,1()(),(nitytxiiii既有.00},{max},{max11显然记iniinits,)()()()(22221iiittitdtttsii的定义，有根据对弧长的曲线积分.),(lim),(10niiiiLsfdsyxf分中值定理，有由弧长的计算公式和积.11iiiiiittttt，其中不妨取的取法无关，所以，可上点值与存在，它的连续，曲线积分由于),(),(),(iiiLsdsyxfyxf),,2,1()(),(niiiii.)()())(),((22dtttttf于是niiiiLsfdsyxf10),(lim),(niiiiiitf1220)()())(),((lim在公式中注意:);(),(,),(.1ttyxyxf换成中的被积函数;)()(.222dtttds换成;.3一定要小于上限定积分的下限特殊情形：.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc)().(),(),(:)3(ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf例1计算,LIxydssin,txat其中L的方程是cos,(0).sin,2xattyatcos,tyat22()()ttdsxydt22(sin)(cos)atatdt.adt解axyOLLIxyds22()().ttdsxydtadt20cossinatatadt320sin(sin)atdt23(sin)220ta3.2a(0)2t例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsILxy42解dyydyyxds22)2(1)]([10)2(1222dyyyI例3计算其中L是以(0,0),1,0,1,1OAB为顶点的.LOAABBA三角形边界.L是分段光滑弧段,解yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxyLdsyx)(BOABOALds在OA上，0,01yx22dsdxdydx1012OAxydsxdx故在AB上，1,01xydsdy10312ABxydsydy故yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy10222OAxydsxdx故在BO上，,01yxx2dsdx因此yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy.2222321)(Ldsyx例4计算222,dsxyz其中是螺线的第一圈222()()()tttdsxyzdtcos,xatsin,yatzbt(02).t222(sin)(cos)()atatbdt22.abdt解22.dsabdt222dsxyz2222220dtababt2222220(cos)(sin)()abdtatatbt2222220()abdbtbabt2221arctan()0abbtbaa222arctan.abbaba22(1arctan)dxaxxcaa以圆弧的圆心为坐标原点,L例5有一段铁丝成半圆形L，半径为R，其上任一点的线密度的大小等于该点到其两端点连线的距离，求其质量.L的对称轴为y轴,则建立坐标系(如图).,.LLMxydsydsyxo解R,xyL的参数方程为LMydscos,sin,xRyR(0).20cosR20sinRd22.R22()().dsxydtRddds例6.计算其中为球面22yx解:,11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2y则五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用思考题1.以下两式正确否？(1)区域222:,Dxya则22aa(错误)(2)曲线222:,Lxya则22()Lxyds32.a4.a(正确)22()Dxyd22aa2a2a