大学课件 高等数学下册 9-2

第九章曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分oxyABL一、问题的提出1nMiM1iM2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功分割（化整为零）.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(1jyixMMiiii.ABFW求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L2.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF4.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR5.性质.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且3.下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于在公式中注意:);(),(,),(.1ttyxyxf换成中的被积函数;)(,)(.2dttdydttdx换成换成特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解xy2)1,1(A)1,1(B,2yxABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例2解,sincos:)1(ayaxL，变到从0)0,(aA)0,(aB0原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(yL，变到从aaxaadx0原式.0问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.03a)(cos)cos1(2d例3).1,1(),0,1()0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对x,10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx.)2(的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.解到点B(000)的直线段例4计算ydzxdyzydxxI2233其中是从点A(321)dttttttI01223]2)3(2)2(33)3[(48787013dttdttttttI01223]2)3(2)2(33)3[(48787013dttdttttttI01223]2)3(2)2(33)3[(48787013dtt直线段AB的方程是123zyx化为参数方程得x3ty2tztt从1变到0所以其中0,kyxOMjir是比例常数提示例5一个质点在力F的作用下从点A(a0)沿椭圆12222byax按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W解椭圆的参数方程为xacostybsintt从0变到2质点在点M(xy)处所受到的力为于是BABAydyxdxkkydykxdxW2022)cossinsincos(dtttbttak)()||(||jirrrFyxkk于是BABAydyxdxkkydykxdxW)(2cossin)(222022baktdttbak)(2cossin)(222022baktdttbakkrF四、两类曲线积分的联系设L为从A到B的有向光滑曲线，参数方程为,)()(||22dsdydxsdsd，即的模正好是弧长的微分而于是两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(即LyQxPddLsQPdcoscos其中cos,cos是曲线L切向量的方向余弦.,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则dstArdA,dsAt可用向量表示，其中},,{RQPA},cos,cos,{cost},,{dzdydxdstrd有向曲线元；.上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点),,(zyx四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk102.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L－表示L的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!首页×3.计算,)()(:tytxL:ttttQttPd)](),([)](),([)(t)(t•对有向光滑弧•对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x首页×:,)()()(ttztytx)](,)(),([tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddzRyQxPddd)](,)(),([tttQ)](,)(),([tttRtd•对空间有向光滑弧:首页×思考题当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如L：taxcos，taysin，]2,0[t，a是正常数），试问如何表示L的方向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.例如L：taxcos，taysin，]2,0[t中当t从0变到2时，L取逆时针方向;反之当t从2变到0时，L取顺时针方向.