大学课件 高等数学下册 9-5

第九章曲线积分与曲面积分第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧通常我们遇到的曲面都是双侧的．曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n{cosa,cosb,cosg}的方向来确定．例如由方程zz(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧，xyzO在曲面的上侧cosg0，在曲面的下侧cosg0．闭曲面分为内侧与外侧．类似地，如果曲面的方程为yy(z,x)，则曲面分为左侧与右侧，在曲面的右侧cosb0，在曲面的左侧cosb0．如果曲面的方程为xx(y,z)，则曲面分为前侧与后侧，在曲面的前侧cosa0，在曲面的后侧cosa0．曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:面在xoyS,在有向曲面Σ上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时当时当时当gggxyxyxyS().()cosxyixyiiSSg其中表示投影区域的面积则有为上的投影xyS)(曲面S分别是曲面在点（x,y,z)的法线向量与X，Y，Z轴正向的夹角类似地有：yzS)((),cos00,cos0()cos,(),cos0yziyziiyzSSaaaa，有(),cos0()0,cos0()cos(),cos0xzxzixziixzSSSbbbb，有gba,,其中二、对坐标的曲面积分的概念与性质实例:流向曲面一侧的流量.(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).Av0nAAnvvA0cos流量(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.xyzoxyzoiS),,(iiiivin把曲面Σ分成n小块is(is同时也代表第i小块曲面的面积),在is上任取一点),,(iii,1.分割则该点流速为.iv法向量为.in该点处曲面Σ的单位法向量kjiniiiigbacoscoscos0,通过is流向指定侧的流量的近似值为0(1,2,,).iiivnSin,),,(),,(),,(),,(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii2.求和通过Σ流向指定侧的流量01niiiivnSiiiiiiiiiniiiiiSRQP]cos),,(cos),,(cos),,([1gbaxyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP))(,,())(,,())(,,([1上式所以3.取极限0.的精确值取极限得到流量iixyiiixziiiyziSSSSSSgbacos)(,cos)(,cos)(由于0limni1定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),iS在xoy面上的投影为xyiS)(,),,(iii是iS上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,nixyiiiiSR10))(,,(lim存在,则称此极限为函数),,(zyxR在有向曲面Σ上对坐标yx,的曲面积分(也称第二类曲面积分)概念及性质记作dxdyzyxR),,(,即nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(被积函数积分曲面类似可定义niyziiiiSPdydzzyxP10))(,,(lim),,(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10))(,,(lim),,(有向面积元存在条件:当),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(性质:2121.1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),,(),,(),,(),,(),,(),,(.2三、计算法设积分曲面Σ是由方程),(yxzz所给出的曲面上侧,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,被积函数),,(zyxR在Σ上连续.),(yxfzxyDxyzoxys)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(),(,)()(,0cos,iiixyxyizSg又取上侧nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)))(,(,,(lim))(,,(limxyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(即,)()(,0cos,xyxyiSg取下侧若xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(则有给出由如果,),(zyxxyzDdydzzyzyxPdydzzyxP],),,([),,(则有给出由如果,),(xzyyzxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ]),,(,[),,(注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.(前正后负)(上正下负)(右正左负)这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式要点为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy面）定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加例1计算xyzdxdy其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.解两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxzxyz2112xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222xyDrdrdrr例2计算ydzdxxdydzzdzdy30122zzyx及被平面是柱面所截得的在第一卦限的部分的前侧oxyz解0的投影区域的面积为在由于xoy0zdxdy故面的投影区域为在yoz10,30:yzDyzyzDdydzyxdydz21故301021dyydz43oxyz面的投影区域为在zox10,30:xzDzxzxDdzdxxydzdx4312故2343430ydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydzzdxdy所以例3计算yzdzdxxydydzxzdxdy是其中平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解分成四个部分1,0:1zxy左侧1,0:2yxz下侧1,0:3zyx后侧所截得的部分被0,0,01:4zyxzyx上侧1234上在110yzdzdxxydydzxzdxdy)0,0,(1zzoxyozxoy面上而在面上的投影为在因同理20yzdzdxxydydzxzdxdy30yzdzdxxydydzxzdxdy上在44)1(xyDdxdyyxxxzdxdy1010)1(xdyyxxdx241同理4241xydydz4241yzdzdxyzdzdxxydydzxzdxdy所以81注对坐标的曲面积分的对称性①被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变②积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同例4计算dxdyzdzdxyddydzx222是其中解,23dxdyzI先计算,)()(:2222byaxRcz上侧下侧.)()()(2222的外侧为球面其中Rczbyax两部分：和分为将21,)()(:2221byaxRcz122223dxdyzdxdyzdxdyzIxyDdxdybyaxRc2222])()([xyDdxdybyaxRc222)()(4xyDdxdybyaxRc2222])()([面的投影域：在及是其中xOyDxy21.)()(222Rbyax.3814302203cRdrrrdcIR得令,sin,cosrbyrax由对称性得,38321aRdydzxI,38322bRdzdxyI.)(383321RcbaIIII所以四、两类曲面积分之间的联系设有向曲面Σ是由方程),(yxzz给出,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,),,(zyxR在Σ上连续.对坐标的曲面积分为xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(xyD),(yxfzxyzodsn曲面Σ的法向量的方向余弦为.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzzgba对面积的曲面积分为dSzyxRgcos),,(所以dSzyxRdxdyzyxRgcos),,(),,((注意取曲面的两侧均成立)dxdyzzzzyxzyxRyxDyxxy2222111)),(,,(xyDdxdyyxzyxR)],(,,[dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(gba两类曲面积分之间的联系:同理dSzyxPdydzzyxPacos),,(),,((注意取曲面的两侧均成立)dSzyxQdxdzzyxQbcos),,(),,((注意取曲面的两侧均成立)例6计算zdxdydydzxz)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的部分的下侧.解dydzxz)(2有上在曲面,dSxzacos)(2dxdyxzgacoscos)(2dxdyxxzdydzxz))(()(22.11cos,1cos2222yxyxxgadxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(22故xyDdxdyyxxxyx)}(21)(])(41{[2222