大学课件 高等数学下册 9-6

第九章曲线积分与曲面积分第六节高斯公式和斯托克斯公式设空间有界闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数,则有公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高斯公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或这里是的整个边界曲面的外侧，cos,cos,cos是上点),,(zyx处的法向量的方向余弦.证明设闭区域在面xoy上的投影区域为xyD.xyzo由1,2和3三部分组成,),(1:1yxzz),(2:2yxzz轴的柱面）侧面（平行于z:3123xyD根据三重积分的计算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz}{),(),(21.)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法,)],(,,[),,(11xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR(1取下侧,2取上侧,3取外侧),)],(,,[),,(22xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxRdxdyzyxR),,(于是.0),,(3dxdyzyxR.),,(dxdyzyxRdvzR,),,(dydzzyxPdvxP同理,),,(dzdxzyxQdvyQRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(------------------高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系..)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的应用例1计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(其中Σ为柱面122yx及平面3,0zz所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.xozy113解,,0,)(yxRQxzyP,0,0,zRyQzyxPdxdydzzy)(原式dzrdrdzr)sin(.29(利用柱面坐标得)xozy113301020)sin(rdzzrdrd使用Guass公式时应注意:1.RQP,,是对什么变量求偏导数;2.是否满足高斯公式的条件;3.Σ是取闭曲面的外侧.xyzo例2计算曲面积分dSzyx)coscoscos(222,其中Σ为锥面222zyx介于平面0z及)0(hhz之间的部分的下侧,cos,cos,cos是Σ在),,(zyx处的法向量的方向余弦.hxyDxyzoh1解空间曲面在面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz补充曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式取上侧，1构成封闭曲面，1.1围成空间区域,上使用高斯公式在dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222xyDhyxdzzyxdxdy22)(2}.|),{(222hyxyxDxy其中xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyxyDhyxDhyxzdzdxdydzyxdxdy22222)(2xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221.214h112222)coscoscos(dSzdSzyx而)1cos0cos0cos1，，上（在xyDdxdyh2.4h故所求积分为dSzyx)coscoscos(222421h4h.214h1)coscoscos(222dSzyx1)coscoscos(222dSzyx例3..dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222zyxz取上侧,求解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd2xyD20d10dr202dcos12131zoxy211用柱坐标用极坐标例4计算曲面积分dxdyyxzdzdxxzydydzzyx)32()32()32(其中Σ为球面2222azyx被平面0zyx截得的上半部分的上侧.解:作取下侧的辅助面)(0:22221azyxzyx于是11.1围成空间区域,上使用高斯公式在1)32()32()32(dxdyyxzdzdxxzydydzzyx而.34213)111(3adv.31cos,31cos,31cos}1,1,1{311，即有，其法向量对于n1)32()32()32(dxdyyxzdzdxxzydydzzyx所以1]cos)32(cos)32(cos)32[(dSyxzxzyzyx0)(6311dSzyx3a211故定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式二、斯托克斯(stokes)公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式n是有向曲面的正向边界曲线右手法则xyzo),(:yxfzxyDCn证明设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在xoy的投影.且所围区域xyD.如图思路曲面积分二重积分曲线积分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos(代入上式得又,coscosyfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPycos)(dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)(即,)],(,,[dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyDyfzPyPyxfyxPy)],(,,[1cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy)],(,,[)],(,,[dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc)],(,,[即根椐格林公式平面有向曲线2,),,(dxzyxPdxdyyPdzdxzP空间有向曲线,),,(dyzyxQdydzzQdxdyxQ同理可证,),,(dzzyxRdzdxxRdydzyRdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx..故有结论成立.RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscos另一种形式}cos,cos,{cosn其中便于记忆形式Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy面的平面闭区域时)例5计算曲线积分ydzxdyzdx,其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.斯托克斯(stokes)公式的应用0xyDxyzn111解按斯托克斯公式,有dzyxdyzdxdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzxyDd3xyo11xyD23弦都为正，的法向量的三个方向余由于再由对称性知：如图xyDdzyxdyzdxSzyxzyxyxxzzy1dddddd32例6利用斯托克斯公式计算积分其中L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆正向.解记以L为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有Szyxzyxyxxzzy1dddddd32Syxyxxzzydd)30(dd)00(dd)00(22Syxyxdd3220空间曲线积分与路径无关的条件定理22.5设Ω是空间单连通区域,函数P,Q,R在Ω上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对Ω内任一按段光滑闭曲线L,有0dddLzRyQxP(2)对Ω内任一按段光滑曲线L,LzRyQxPddd与路径无关(4)在Ω内处处有zPxRyRzQxQyP,,zRyQxPudddd(3)在Ω内存在某一函数u,使zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关,并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),,(),,()0,0,0(解令yxRxzQzyP,,,1xQyP,1yRzQyPxR1积分与路径无关,zyxxy)(yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),,(zyx)0,,(yx)0,0,(x因此例7验证曲线积分内容小结1.高斯公式SyxRxzQzyPddddddVzyxzRyQxPddd2.斯托克斯公式LzRyQxPdddSzyxRQPyxxzzyddddddSRQPSzyxdcoscoscos