大学课件 高等数学下册 CH8习题课

第八章重积分习题课定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，一.主要内容1、二重积分的定义如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10２、二重积分的几何意义（1）当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．.2的面积）（DdD性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf)(21DDD性质４若为D的面积.1DDdd性质５若在D上，),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得),(),(fdyxfD.性质７（二重积分中值定理）４、二重积分的计算,:bxaD).()(21xyx［X－型］.),(),()()(21DbaxxdyyxfdxdyxfX-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点..),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf,:dycD).()(21yxy［Y－型］.)sin,cos()()(21rdrrrfd1)sin,cos(Drdrdrrf,:1D).()(21r（２）极坐标系下.)sin,cos()(0rdrrrfd,:2D).(0r2)sin,cos(Drdrdrrf3)sin,cos(Drdrdrrf.)sin,cos()(020rdrrrfd,20:3D).(0r5、三重积分的定义设),,(zyxf是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区域1v，2v,,nv，其中nv表示第i个小闭区域，也表示它的体积,在每个iv上任取一点),,(iii作乘积iiiivf),,(，),,2,1(ni，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10.6、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．时当Vdvzyxf,1),,(7、三重积分的性质类似于二重积分的性质．8、三重积分的计算}),(),,(),(|),{(21Dyxyxzzyxzyx“先一后二”方法：.),,(),,(),(),(21yxzyxzDdzzyxfdxdydvzyxf}.,),(),,{(21czcDyxzyxz“先二后一”方法：.),,(),,(21zDccdxdyzyxfdzdvzyxf(１)直角坐标.,sin,coszzryrx(２)柱面坐标.),sin,cos(),,(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv.cos,sinsin,cossinrzryrx,sin2ddrdrdvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf(３)球面坐标9、重积分的应用(1)体积设S曲面的方程),(yxfz曲面S的面积;122dxdyAxyDyzxz(2)曲面积),(zygx;122dydzAyzDzxyx),(xzhy.122dzdxAzxDxyzy当薄片是均匀的，重心称为形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的重心为(3)重心.dvM其中,1dvxMx设物体占有空间闭区域，在点),,(zyx处的密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，则该物体的重心为,1dvyMy.1dvzMz薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为(4)转动惯量,2dvzIxy设物体占有空间闭区域，在点),,(zyx处的密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为,2dvxIyz,2dvyIzx,)(22dvzyIx,)(22dvxzIy,)(22dvyxIz.)(222dvzyxIo(5)引力设物体占有空间有界闭区域其密度(xyz)为上的连续函数求物体对于物体外一点M0(x0y0z0)处的质量为m的质点的引力dvrxxmzyxGFx30)(),,(dvryymzyxGFy30)(),,(dvrzzmzyxGFz30)(),,(.0的距离与为为引力常数，其中MMrGD二.例题例1解围成．由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxDX-型xxDdyyxdxdyx12221222112)(dxyxxx213)(dxxx.49.21,1:xxyxD)0(.),(22202adyyxfdxIaxxaxa更换积分次序例2解,22,20:2axyxaxaxD,,321三部分及分成将积分区域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD;2,22:22ayaaxayD;0,2:223ayaxyaaD.),(),(),(20222020222222ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故例3解）．所围的面积（取圆外部和圆是由心脏线其中计算ararDdyxD)cos1(.22)cos1(2222aaDrdrrddyx2233]1)cos1[(31da).2922(3a例4解所围成．及由其中计算00,1.)cos(yxyxDdxdyyxyxID,,yxvyxu令.2,2uvyvux则,DDDxyo1yxDuvovuvu1v.11;0;0vyxvuyvux即),(),(vuyxJ,2121212121DdudvJvuIcos故vvduvudvcos2110.1sin211sin22110vdv例5.)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22babynyxndyyf])(11[)(1.)()(111bandyyfybnDxybbaa例6组成的三棱锥台．是由六个顶点，其中计算)4,2,2(),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(:122FEDCBAdvyx解,ABEDxoy面上的投影为梯形在为顶的柱体．以梯形为底，是以梯形ACFDABED,轴所在平面过梯形xACFD,0zy设其方程为xyzCAFEDBO.02,)2,1,1(yzC得其方程为点又因过.21;0;20:xxyyzyxdzdyyxdxdvyx20022212211xdyyxydx0222122122]ln)2[ln(dxxx.2ln例7所围成的．与由其中，计算22221)(yxzyxzdvzx解利用球面坐标奇函数，的为面为对称，关于xxzyxfyoz),,(.0xdv有zdvdvzx)(1024020sincosdrrrdd.8例8.1:222zyxdvez，计算解法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为2221)(zyxzDz上dvedvezz210)(][2dzedxdyzzD102)1(2dzezz.2柱体内部分).所围成的体积(指含在)与圆柱面求球面0(222222aaxyxazyx2222azyx解由对称性，考虑上半部分zxyo.例9.a2222azyx22axyx.xyozz=0axyzo。22raz。cosar。。。。D1.所求体积V2033d)sin1(34πθθaa)943(23dd422rrraD。。dd420cos022πθarrraθ.例10所割下部分的曲面面积被圆柱面锥面22222xyxyxz求xyzo1xyzo.xyzo1D02:22zxyxDS.......DyxQPSdd22yxxxzP其中22yxyyzQDyxSdd2.....