大学课件 高等数学下册 第七章_多元函数微分学(二)

1第七章多元函数微分学(二)典型例题主要内容堂上练习题小结2一、主要内容第4节多元复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则(链导法则)),(),(),(yxyxvyxu都在点及如果,的偏导数和具有对yx在对且函数),(vufz),(vu应点则复合函数)],(),,([yxyxfz的两个在对应点),(yx偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,定理:(*),zzuzvxuxvx.zzuzvyuyvy3注意:1.(*)式中两边z的含义不同,左边的z表示已经复合的函数,右边的z表示还没有复合的函数,2.(*)式两边都在点(,)xy取值.4项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构分量原则5uvxzyxzuzxuvzxvyzuzyuvzyv网络图uv[(,),(,)]zfxyxy6二.介绍”网络图”1.(,),(),()zfuvutvtzuvttzddtuuzdd.ddtvvz2.(,,),(),(),()zfuvwuutvvtwwtzuvtwtzdduztuddvztvddwztwdd3.(,),(,),(,)zfuvuxyvxyzuvxy,xvvzxuuzxz.zzuzvyuyvy全导数全导数74.[,,)],(,),(,),(,)zfuvwuxyvxywxyxzxuuzxvvzxwwzzuvxwyyzyuuzyvvzywwz5.(,,),(,)zfuxyuxyzuyxzzuzxuxxzzuzyuyy8引入记号:设,,zfuv记12,,zzffuv22221112212222,,,zzzzffffuuvvuv9三、全微分形式不变性),(vufz设函数具有连续偏导数,则有全微分;dddvvzuuzz,),(),,(时当yxvyxu则有全微分,dddyyzxxzzxvvzxuuzyvvzyuuzyyuxxuuzddyyvxxvvzdduuzd.dvvz全微分形式不变性的实质10第5节隐函数求导法一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)0),(.1yxF)1(0),(yxF的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.11隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP设二元函数的某一邻域内满足:在点,0),(00yxFy则方程;0),(00yxF),(xfy),(00xfy的某一邻域内并有),(),(ddyxFyxFxyyx(1)具有连续偏导数;0),(yxF),(00yxP它满足条件在点隐函数的求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,),(xF由全导数公式,得)(xf012连续，由于),(yxFy，且0),(00yxFy,0),(yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx或简写:.ddyxFFxy),(00yx于是得所以存在的一个邻域,在这个邻域内),(yxFx),(yxFyxydd0),(xF)(xf013如,方程,0yxeexy记,),(yxeexyyxF;0)0,0(F(1)xxeyyxF),(yyexyxF),(与)0,0(在点的邻域内连续;,01)0,0(yF所以方程在点)0,0(附近确定一个有连续导数、且yxFFxydd.yxexey隐函数存在定理1的隐函数00yx时当),(xfy则(2)(3)14注意:1.定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出.2.定理的结论是局部的.3.隐函数的导数仍含有x与y,理解:4.定理的条件只是充分条件.如:5.注意哪个是隐函数,哪个是自变量.求高阶导时,利用复合函数的求导方法.()(,)dd(,)xyyfxFxyyxFxy2(,)()0.Fxyxy15),,(zyxF),,(000zyxP,0),,(000zyxFz则方程;0),,(000zyxF),,(yxfz),,(000yxfz内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内0),,(zyxF),,(000zyx函数它满足条件在点在点0),,(zyxF2.由三元方程确定二元隐函数),,(yxfz.,yzxz求隐函数存在定理2的某一邻域,zxFFxz.zyFFyz(1)(2)(3)满足:16(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,),,(yxF应用复合函数求导法得),(yxf0xFzFxz,0,zxFFxz.zyFFyz是方程所确定的隐设函数,则yFzFyz.0zF，且0),,(000zyxFz,0zF),,(000zyx点所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得17二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF确定两个二元函数,xu,yu),,(yxuu求故由方程组求导方法.).,(yxvv,xv.yv18将恒等式0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边关于x求偏导,xu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF解这个以,xuxv为未知量的线性方程组,由链导法则得:xGxFuFvFxv0uGxuvGxv0,xu,yu求,xv.yv19解得00xvvGxuuGxGxvvFxuuFxF当系数行列式不为零时,即vGuGvFuF),(),(vuGFJ雅可比行列式.0Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851xuvGuGvFuFvGxGvFxFxvvGuGvFuFxGuGxFuF(,)(,)(,)(,,)FGvFGuxv(,)(,)(,)(,.)FGuFGuvx20同理,vGuGvFuFvGyGvFyFyuvGuGvFuFyGuGyFuFyv(,)(,)(,)(,,)FGvFGuyv(,)(,)(,)(,.)FGuFGuvy0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF两边关于y求偏导,得,xu,yu求,xv.yv21第6节方向导数与梯度一、方向导数1.方向导数的定义设有二元函数),,(yxfz沿任何方向的变化率．考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,,lP发出的一条射线由点方向上取附近于在点lyxP),(),,(yyxxP一点.||PP记即,)()(22yxxyPlPxyO22定义如果极限)()(limPfPfPP0(cos,cos)(,)limfxyfxy存在,则将这个极限值称为函数在点(,Pllo沿方向={cos,cos})的方向导数记为,lf即0(cos,cos)(,)limffxyfxyl注方向导数是函数沿半直线方向的变化率.ylPxPxyO23xyzO2.方向导数的几何意义),(yxfz设的几何意义为曲面,当限制自变量沿方向l变化时,对应的空间点),,(zyx形成过l的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点M有一条记此半切线与方向l的夹角为,则由方向导数的.tanlf半切线,定义得MlP240(cos,cos)(,)limffxyfxylρ一定为正!xyxfyxxfxfx),(),(lim0是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数yyxfyyxfyfy),(),(lim0分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.注结论：00(,)()xfffxyii存在25证由于函数可微,),(),(yxfyyxxf得到3.关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理.coscosyfxflf处在点设),(),(yxPyxfz,导数都存在的方向在该点沿任意指定方向l可微,则函数且.的夹角轴正向轴、与分别为方向、其中yxl则增量可表示为)(oyyfxxf两边同除以,26coscos),(),(yxfyyxxf故有方向导数0(cos,cos)(,)limfxyfxy.coscosyfxflf),(),(yxfyyxxf)(oyyfxxf)(oyyfxxfylPxPxyO27注coscosyfxflf,cos,cos方向的方向余弦为其中l,的单位向量l即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点),(000yxP的方向导数为(3).coscos000PPPyfxflf(4)关系方向导数存在偏导数存在可微[0]l、，是的方向角.2800,)xy在（沿任意方向的方向导数存在可微222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy如，(0,0)cos,cos(0,0)l（1）在点连续；（2）沿任意方向的方向导数存在；（3）在点不可微。结论2900,)xy在（沿任意方向的方向导数存在(甚至相等）连续。结论如220,0(,)1,0yyxfxyyx当或当30lf推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数),,,(zyxfu它在空间一点),,(zyxPl沿着方向的方向导数,可定义为0(cos,cos,cos)(,,)limfxyzfxyz))()()((222zyx其中,cosx,cosy,cosz,,的方向角为设方向l同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有coscoscoszfyfxflf)cos,cos,(cos其中是l的方向向量.31问题二、梯度概念与计算已知方向导数公式coscosyfxflfyfxfG,lf:G方向：模：方向一致时,Gl与当0方向导数取最大值||Gmaxf变化率最大的方向f的最大变化率之值函数沿什么方向的方向导数为最大),(yxfz(gradient)一个二元函数在给定