大学课件 高等数学下册 第7章_多元函数微分学

1音乐2前几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用.主要讨论二元的情况.3一、平面点集n维空间平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为}),({222ryxyxC第一节多元函数的概念}P),(),({具有性质yxyxExyor4气态方程RTPV（P为压强，V为体积，T为温度，R是常数）实例：二、多元函数的概念药代动力学方程kttXCeV（tC为血药浓度，X为给药剂量，k是常数）5设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.二、多元函数的概念6解22221040xyxy2214xy所求定义域为22{(,)|14}.Dxyxy求2222(,)14fxyxyxy的定义域．例1xyo7二元函数的图形通常是一张曲面.二元函数的图形),(yxfz8设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某一去心邻域内有定义,(,)Pxy是),(000yxP邻域内的点，如果P以任意方式无限地趋向于点0P时，(,)fxy无限地趋向于某一个常数A，三、多元函数的极限定义则称函数),(yxfz当),(),(00yxyx时以A为极限,记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00.),(limAyxfyyxx00或9说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限.（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．10在一元函数的极限中,0xx的方式可以任意；同理,在二元函数的极限中,),(),(000yxPyxP的方式更为复杂,它要求P以任何方式趋于0P时,),(yxf均趋于A.因此,假如P以不同的方式趋于0P时,),(yxf趋于不同的极限,则说明),(yxf当0PP时无极限.(1)令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP,若极限值与k有关，则可断言极限不存在；确定二重极限不存在的方法：(2)找两种不同趋近方式，使存在,但两者不相等,此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．),(lim),(),(00yxfyxyx11考察422yxxyyxf),(当)0,0(),(yx时的极限.但如果沿曲线)(0kxky,则因此,当)0,0(),(yx时,422yxxy无极限.例2解沿x轴考察,，0),(lim0)0,0(),(yxfyyx42200yxxyxkyyx),(),(lim222420limxkxxkx2401kk，12设二元函数),(yxfz在聚点),(000yxP的某一邻域内有定义,若四、多元函数的连续性定义，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx则称),(yxfz在),(00yx处连续.例如,422yxxy当)0,0(),(yx时无极限,故在)0,0(处不连续；一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．13闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值．在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（1）最大值和最小值定理（2）介值定理14定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，如果极限第二节多元函数的偏导数一、偏导数的定义及其计算法存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为xyxfyxxfx),(),(lim000000000yyxxyyxxxfxz，).,(,0000yxfzxyyxxx或15类似可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000偏导函数:记为0000yyxxyyxxyfyz，).,(,0000yxfzyyyxxy或,,yzxz,yxzz，或2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.说明:1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题..yxff，16求yeyxxzx3233在点),(00处的偏导数．解xz2336;xxxyeyyz229.xxye，000yxxz.100yxyz例117解例2.arctan偏导数求的xyuux221()1()yyxx;22yxy)()(xxyyu1112.22yxx18设223arctan)2(),(yxxyxxyyxf,求)1,2(yf.此题若先求出),(yxfy,再代入,则麻烦.解例3.6)1,2(yf，26),2(yyfy，32),2(yyf19偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM曲面被平面0yy所截得的曲线00),(yyyxfz，在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率：00(,)xfxy同理，偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.20多元函数中在某点偏导数存在连续，偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，例如,函数已经求得，(0,0)(0,0)0xyff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.0002222422yxyxyxxyyxf,,),(2122(,),xxzzfxyxxx22(,)yyzzfxyyyy2(,),xyzzfxyyxxy2(,)yxzzfxyxyyx函数),(yxfz的二阶偏导数为混合偏导数二、高阶偏导数22设13323xyxyyxz，解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx例5求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.23第三节全微分及其应用回顾:如果对一元函数),(xfy,)(0可微在点则称函数xxfy,)(xoxAy)0(x)()(00xfxxfy能表示成的微分为并且称函数)(xfy,ddxAxAy实际上,)(xfAdd().yfxx即24二元函数的可微和全微分定义二元函数),(yxfz在点),(00yx处的全增量),(),(0000yxfyyxxfz如果可以表示为，)(oyBxAz其中BA,与yx,无关,22yx,则称),(yxfz在点),(00yx处可微分,而yBxA称为),(yxfz在),(00yx处的全微分,记为zd,即.dyBxAz25定理1(必要条件)如果函数),(yxfz在点),(yx可微分，则该函数在点),(yx的偏导数xz、yz必存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为.dyyzxxzz证，)(oyBxAz令0y，则||x,xyxfyxxfxzx),(),(lim0同理可得.yzBxxoxAx|)(|lim0,A可微可偏导26定理２(充分条件)如果函数),(yxfz的偏导数xz、yz在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分．(证略)以上内容类似地可以推广到三元或三元以上的多元函数,如三元函数),,(zyxfu可微,则全微分为习惯上，记全微分为.dddyyzxxzz.ddddzzuyyuxxuu27求xyzuln的全微分.解例1，xxu1，yyu1111dddd.zxyzxyz所以，zzu1求)arctan(yxz在点(0,2)的全微分.解例2，211)(yxxu，211)(yxyu11ddd.55zxy所以28多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可偏导29证略第四节多元复合函数与隐函数的微分法定理如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：uvtz一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形.ddddddtvvztuuztz多元复合函数的微分法30uvwtz以上公式中的导数称为全导数.tzdd类似地,若中间变量为三个,),,(wvufz,)(tu,)(tv,)(tw,则复合函数)](),(),([tttfz的导数为.ddddddddtwwztvvztuuztz31设vuz2,xvxue,sin,求xzdd.解例1xvvzxuuzxzddddddxxuecos2.e2sinxx32xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.定理设),(vufz具有连续偏导数,),(yxu,),(yxv可偏导,则复合函数)],(),,([yxyxfz可偏导,且有链式法则如图示uvxzy33vz,xvyzuz二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.定理设),(vufz具有连续偏导数,),(yxu,),(yxv可偏导,则复合函数)],(),,([yxyxfz可偏导,且有链式法则如图示uvxzyxzuzxuyuvz.yv34xwwzxvvzxuuzxz,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz.类似地,设),,(wvufz,),(yxu,),(yxv,),(yxw,则复合函数)],(),,(),,([yxyxyxfz的偏导数为35设vezusin，而xyu，yxv，解1cosesinevyvuu,)]cos()sin([eyxyxyxy1cosesinevxvuu.)]cos()sin([eyxyxxxy例1求xz和yz.xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz36设tuvzsin，而teu，tvcos，解cossintzettcossincosttdzetettdt.cos)sin(cosetttt例2.ddtz求全导数37解例3设,,,yxvyxuezwvu222yxwsin2,求yzxz,.xwwzxvvzxuuzxz)sin(yxwvuewvu2222222;)sin()sin(yxxeyxyx232224224ywwzyvvzyuuzyz;)cossin