大学课件 高等数学下册 第七章_多元函数微分学(一)

1第七章多元函数微分学(一)典型例题主要内容堂上练习题小结2一、主要内容定义2(点函数)设D是n维空间中的一个点集,如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则,f有确定的数u与之对应,则称对应法则f是定义在D上的函数.记为,ufP点集D称为这个函数的定义域.第1节多元函数一.定义3二.多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的规定:分母不为0;负数不能开偶次方;0和负数没有对数;正弦,余弦的绝对值不超过1;00无意义.4,0,)()(02020yyxx当,0),(yxfzA为则称Ayxfyxyx),(lim),(),(00记作)0(),(Ayxf或)(定义2有成立.的极限.时当),(),(00yxyx设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义),()(yxfPf义域为D,如果存在常数A,AyxfAPf),()(APfPP)(lim0也记作).()(0PPAPf或三.多元函数的极限5说明(1)定义中0PP(2)二元函数的极限也叫),(lim00yxfyyxx(doublelimit)的方式是任意的；二重极限.6相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf7确定极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.不存在的方法则可断言极限不存在;),(yxP令若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使处极限不存在.存在,在点),(yxf),(000yxPkxy),,(000yxP趋向于沿直线8四、多元函数的连续性设二元函数则称函数定义3),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyxP0(x0,y0)为D的聚点,且P0∈D.如果连续.),(),(000yxPyxf在点如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,),(yxf或称函数),(yxf是D内的连续函数.的定义域为D,),()(yxfPf9有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得10第2节偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义),(yxfz设函数,0yy固定为将),(),(0000yxfyxxfzxxzxx0lim存在,处在点),(),(00yxyxfz的某邻域在点),(00yx内有定义，,0时处有增量在而xxx函数有相应的增量如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000则称此极限为函数(称为关于x的偏增量).记为对x的偏导数,11记为,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或).,(00yxfx同理,可定义函数处在点),(),(00yxyxfz为yzyy0limyyxfyyxfy),(),(lim00000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz或).,(00yxfyxyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000对x的偏导数,对y的偏导数,12那么这个偏导数仍是yx、的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作,xz,xfxz或).,(yxfx同理,可定义函数),(yxfz对自变量y的偏导函数(简称偏导数),记作,yz,yfyz或).,(yxfy在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,(,)zfxy(,)zfxy13结论:000000000000(,)(,)(,);(,)(,)(,)xxxxxxxyyxxyyyyyyyfxyfxyfxyfxyfxyfxy14偏导数的概念可以推广到二元以上函数设12(,,,),nufxxx1111110(,,,,,)(,,,,,)limiiiniiinxifxxxxxxfxxxxxuxx则求多元函数12(,,,)nufxxx对某个变元ix的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当作常量,而把函数当15二、偏导数的几何意义),(yxfz设二元函数)),(,,(00000yxfyxM设在点),(000yxM有如图,),(yxfz为曲面偏导数.上的一点,0M),(yxfzyxzO过点0M作平面,0yy此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为),,(yxfz.0yy),(0yxfz由于偏导数),(00yxfx等于一元函数),(0yxf的导数),(0yxf,0xx故由一元函数导数的几何意义0x0y16可知:0xyTxT0y),(yxfzyxzO),(0yxfz0M偏导数),(00yxfx在几何上表示曲线),(yxfz0yy在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对x轴的斜率;偏导数),(00yxfy在几何上表示曲线),(yxfz0xx在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对y轴的斜率.),(0yxfz17xz),(yxfyy),,(yxfxy),(yxfyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义x22xz),,(yxfxx22yzyzyyxz2xzyxyz2yzx三、高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为18多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏),(yxfyx与),(yxfxy在区域D内定理连续，那么在导数该区域内).,(yxfyx),(yxfxy(,)zfxy19第3节全微分及其应用的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz),(oyBxAz,有关、仅与、其中yxBA,)()(22yxyBxA,yx、处),(yx处的全微分.可表示为),(yxfz可微分,在点),(yx则称函数称为函数记作,dz即.dyBxAz函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于(,)zfxy在点一、全微分的定义20可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数注yxz与是d.1之差是比与zzd.2yBxAzd全微分有类似一元函数微分的)(oyBxAzA=?B=?两个性质:全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.211.可微分的必要条件.dyyzxxzz(可微一定有偏导数存在).定理1(可微必要条件)如果函数在点),(yxfz的则该函数在点),(yx可微分,),(yx,必存在且函数),(yxfz),(yx在点的全微分为yzxz、偏导数二、可微的条件22都不能保证函数在该点连续.多元函数在某点可微是否保证事实上,)(oyBxAz显然,答:由全微分的定义有可得z0lim0多元函数可微必连续连续的定义不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数),(),(yxyxfz在点可微分,则函数在该点连续.)(lim0oyBxA一定是不可微的.23根据可微的定义有下面结论:00(,)(,)zfxyxy在可微00002200,,lim0xyxyzfxyxfxyyxy242.可微分的充分条件定理2的如果函数),(yxfz,),(连续在、yxyzxz.可微分(微分充分条件)),(yx则该函数在点偏导数.ddddzzuyyuxxuu通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.称为二元函数的微分符合叠加原理．),,,(zyxfu如三元函数则25考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:选择题①f(x,y)在点(x0,y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“”QP表示可由性质P推出性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.26二、典型例题例1求下面函数的定义域2222(1)arcsin49xyzxy(2)lnlnzxyx2249xy0011xxyxxyx或27设函数证明:当P(x,y)沿x轴的方向当P(x,y)沿y轴的方向)0,(lim0xfx),0(lim0yfy也有0,00,),(222222yxyxyxxyyxf证22000limxxx00lim0x22000limyyy00lim0y函数的极限不存在.,0,0时当yx无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例228函数的极限存在且相等.当P(x,y)沿直线y=kx的方向2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数证明:0,00,),(222222yxyxyxxyyxf函数的极限不存在.,0,0时当yx特殊方向29极限是否存在？24200limyxyxyx取,kxy解242yxyx),(lim0yxfkxyx当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,)0,(lim0xfx0222243kxkxxkxkx),0(lim0yfy00lim220kxkxkxyx30极限不存在.取,2xy242yxyx444xxx极限是否存在？24200limyxyxyx2131例3证明函数2222222,0(,)0,00,0xyxyxyfxyxy在点分别对于每个自变量x和y都连续,但作为二元函数在点却不连续.0,032例4求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(lim,1222yxyx,00x.0)sin(lim22200yxyxyx2||22xxyyxyxyxyx2200)sin(lim,222yxyx33例5求极限.42lim00xyxyyx解将分母有理化,得42lim00xyxyyxxyxyxyyx)42(lim00)]42([lim00xyyx434求多元函数的偏导数例6求的偏导数.lntanyzx利用一元函数),,(yxfx如求只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,例7求的偏导数.(0)yzuxx35三个偏导数.2lnsin)(),,(xazzyxfxy求解求某一点的偏导数时,12]ln[sinxx)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2xxx2,000y002z例8变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将