高中数学审题的六种技巧

审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1已知0≤αβγ2π，且sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求β－α.审题路线图解由已知得sinα＋sinβ＝－sinγ，①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①2＋②2得2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，故cos(β－α)＝－12.由0≤αβγ2π，知0β－α2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.同理可得cos(γ－α)＝－12，0γ－α2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.由于βγ，得β－αγ－α，所以β－α取小值，γ－α取大值，即β－α＝2π3.设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ等于()A．2525B．255C．2525或255D．55或525解析依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)．因为4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.故选A.答案A二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，l1与l2相交于点D.(1)求点D的纵坐标；(2)证明：直线AB过定点．审题路线图通过审视结论，我们画出了审题路线图，根据审题路线图，即可规范求解．(1)解如图，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．∵l1，l2分别是抛物线C在点A，B处的切线，∴直线l1的斜率k1＝＝x1p，直线l2的斜率k2＝＝x2p.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，得x1x2＝－p2.①∵A，B是抛物线C上的点，∴y1＝x212p，y2＝x222p.∴直线l1的方程为y－x212p＝x1p(x－x1)，1xxy2xxy直线l2的方程为y－x222p＝x2p(x－x2)．由y－x212p＝x1px－x1y－x222p＝x2px－x2，解得x＝x1＋x22y＝－p2.∴点D的纵坐标为－p2.(2)证明∵F为抛物线C的焦点，∴F0，p2.∴AF→＝－x1，p2－x212p＝－x1，p2－x212p，BF→＝－x2，p2－x222p＝－x2，p2－x222p.∵p2－x212pp2－x222p＝p2－x21p2－x22＝－x1x2－x21－x1x2－x22＝x1x2，∴AF→∥BF→，即直线AB过定点F.已知椭圆x22＋y24＝1的上、下焦点分别为F1、F2，点P在第一象限且是椭圆上一点，并满足PF1→·PF2→＝1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．(1)求证：直线AB的斜率为定值；(2)求△PAB面积的最大值．(1)证明由条件可得F1(0，2)，F2(0，－2)，设P(x0，y0)(x00，y00)，则PF1→＝(－x0，2－y0)，PF2→＝(－x0，－2－y0)，所以PF1→·PF2→＝x20－(2－y20)＝1，又点P(x0，y0)在椭圆上，所以x202＋y204＝1，所以x20＝4－y202，从而4－y202－(2－y20)＝1，得y0＝2.则点P的坐标为(1，2)．因为直线PA、PB的斜率必存在，故不妨设直线PB的斜率为k(k0)，则直线PB的方程为y－2＝k(x－1)，由y－2＝kx－1x22＋y24＝1，消去y，得(2＋k2)x2＋2k(2－k)x＋(2－k)2－4＝0，设B(xB，yB)，A(xA，yA)，则1＋xB＝2kk－22＋k2，xB＝2kk－22＋k2－1＝k2－22k－22＋k2，同理可得xA＝k2＋22k－22＋k2，则xA－xB＝42k2＋k2，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝8k2＋k2.所以直线AB的斜率kAB＝yA－yBxA－xB＝2为定值．(2)解由(1)可设直线AB的方程为y＝2x＋m.由y＝2x＋mx22＋y24＝1，消去y，得4x2＋22mx＋m2－4＝0，由Δ＝(22m)2－16(m2－4)0，得m28，即－22m22，又点P到直线AB的距离为d＝|m|3，则S△PAB＝12|AB|d＝121＋2|xA－xB|d＝124－12m2×3×|m|3＝18m2－m2＋8≤18m2－m2＋822＝2.当且仅当m＝±2时取等号．所以△PAB面积的最大值为2.三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．例3给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______．审题路线图〈观察方向一〉向量OA→、OB→、OC→均为单位向量注意三向量的关系OC→＝xOA→＋yOB→将向量关系转化为数关系OC→2＝(xOA→＋yOB→)2＝x2＋y2－xy＝1化为关于x＋y的不等式(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×x＋y24要关注等号成立的条件x＋y≤2〈观察方向二〉从图形上看，∠AOC＝α的大小影响x＋y的大小(将向量关系转化为α与x＋y的关系)OC→·OA→＝xOA→2＋yOA→·OB→OC→·OB→＝xOA→·OB→＋yOB→2即cosα＝x－y2cos120°－α＝－12x＋y构造x＋y关于α的函数x＋y＝2[cosα＋cos(120°－α)]三角函数化简x＋y＝2sinα＋30°≤2〈观察方向三〉观察图形解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，即B(－12，32)．设∠AOC＝α，则OC→＝(cosα，sinα)．∵OC→＝xOA→＋yOB→＝(x,0)＋－y2，32y＝(cosα，sinα)．∴x－y2＝cosα，32y＝sinα.∴x＝sinα3＋cosα，y＝2sinα3，∴x＋y＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值．答案2点评从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题又快又准，所以观察方向三值得考虑．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且OP→＝tOA→＋(1－t)OB→(0≤t≤1)，则OP→·OQ→的最大值为______．解析∵OP→＝tOA→＋(1－t)OB→，∴B，P，A三点共线，∴BP→＝tBA→，又0≤t≤1，∴P在线段BA上运动．∵Q为上一点，设∠POQ＝θ，∴OP→·OQ→＝|OP→||OQ→|cosθ＝2|OP→|cosθ≤2|OP→|≤2×2＝4，即当P，Q重合且位于A或B处时，OP→·OQ→取得最大值4.4四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．审题路线图〈观察方向一〉〈观察方向二〉解析由ba＋ab＝6cosC，得b2＋a2＝6abcosC.化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将tanCtanA＋tanCtanB切化弦，得sinCcosC·(cosAsinA＋cosBsinB)＝sinCcosC·sinA＋BsinAsinB＝sinCcosC·sinCsinAsinB＝sin2CcosCsinAsinB.根据正、余弦定理得sin2CcosCsinAsinB＝c2ab·a2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝2c232c2－c2＝4.答案4点评观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会达到令人非常满意的效果．已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A＝θ，若cosBsinC·AB→＋cosCsinB·AC→＝2mAO→，则m＝________(用θ的三角函数表示)．解析方法一设AB＝c，AC＝b，AO＝R，将等式cosBsinC·AB→＋cosCsinB·AC→＝2mAO→两边平方，得cos2B·csinC2＋cos2C·bsinB2＋2cosBcosC·csinC·bsinB·cosθ＝4m2R2.设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得cos2B＋cos2C＋2cosBcosCcosθ＝m2.降幂，得1＋12cos2B＋12cos2C＋2cosBcosCcosθ＝m2，则m2＝1＋12cos[(B＋C)＋(B－C)]＋12cos[(B＋C)－(B－C)]＋2cosBcosCcosθ，将上式右边展开并化简，得m2＝1＋cosθcos(B＋C)＝1－cos2θ＝sin2θ.注意到m0，可知m＝sinθ.方法二设AB＝c，AC＝b，AO＝R，∠BAO＝α，∠CAO＝β.等式cosBsinC·AB→＋cosCsinB·AC→＝2mAO→两边同时乘以AO→，得cosBsinC·cRcosα＋cosCsinB·bRcosβ＝2mR2，由正弦定理及cosα＝c2R＝sinC，cosβ＝b2R＝sinB，得cosBsinC＋cosCsinB＝m，所以m＝sin(C＋B)＝sinθ.方法三设A＝B＝C＝θ＝60°，AB＝AC＝1，则AB→＋AC→＝23mAO→，上式两边平方，得1＋1＋1＝4m2，注意到m0，所以m＝32＝sin60°＝sinθ.答案sinθ五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客